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1、工程力学,第六章应力状态分析及强度理论,2,第六章 应力状态分析及强度理论,6-1 应力状态概述,6-2 二向应力状态分析,6-3 应力圆及三向应力状态简介,6-4 广义虎克定律与应变能密度,6-5 强度理论,3,6-1 应力状态概述,低碳钢,铸 铁,1、问题的提出,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,?,4,脆性材料扭转时为什么沿45螺旋面断开？,低碳钢,铸 铁,?,5,6,一般性结论,1）受力构件上应力随点的位置变化而变化；,2）即使在同一点,应力也是随截面的方位变化而变化。,过一点所有方位面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。,应 力,指明,7,2、研究方法,单元体上没有切应力的面称为
2、主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用 表示，并且只有主应力的单元体称为主应力单元。,各边边长,单元体,8,3、应力状态分类,应力状态：,1）单向应力状态(一个主应力不等于零),2）平面（二向）应力状态（两个主应力不等于零）,3）空间（三向）应力状态（三个主应力都不等于零）,复杂应力状态,一般来说，过受力构件的任意一点都可找到三个互相垂直的主平面，因而每点都有三个相互垂直的主应力,9,例6-1、画出如图所示梁S截面各点的应力状态单元体。,10,1,2,3,11,例6-2、画出如图所示梁危险截面危险点的应力状态单元体,12,z,13,例63、分析薄壁圆筒受内压时的应力状态。,薄壁圆筒的横截面
3、面积,(1)沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F,14,(2)假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取下半环为研究对象,15,例64、分析A点的应力状态。,16,6-2 二向应力状态分析,在二向应力状态下，已知通过一点的某些截面上的应力（互相垂直的截面），确定通过这一点的其它斜截面上的应力，从而确定该点的主平面和主应力。,1、斜截面上应力,17,正负号规定,拉（+），压（）,对单元体内任一点取矩顺时针为正，逆时针为负。,由x 轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。,：,：,：,正应力的角标表示作用面的法线方向,第一个角标表示作用面的法线方向，第二个角标表示切应力的方向,18,对隔离体列平衡方程
4、,利用三角函数公式：,且有，化简得：,19,任意斜截面应力公式,20,确定正应力极值：,设aa 0 时，上式值为零，即：,2、正应力极值和方位,即0的截面，正应力取极值，切应力为零。,21,此截面的位置可由下式确定：,主应力按代数值排序：s1 s2 s3,确定了两个相互垂直的平面，分别为最大和最小正应力所在平面。,正应力极值：,22,4、两个导出公式：,3 最大剪应力,23,例6-5、单元体的应力状态如图，求图示斜截面上的应力和smax、smin、t max、t min及主平面和最大剪应力所在平面的方位。,解：,1）取坐标轴,2）已知条件命名,3）计算 s30，t 30,24,4）计算smax
5、、smin及主平面方位角,25,26,5）计算t max、t min及其所在平面的方位角。,27,二向应力状态分析的方法,计算任意斜面上的应力、确定主应力及主平面等。,1)画出应力主单元体（若已知单元体的应力状态则省去这一步）；,2)取坐标轴，并写出已知应力；,坐标轴应与应力单元体的边垂直，x轴与y轴可任意指定，可默认水平方向为x轴，垂直方向为y 轴。,3)利用相关公式，计算出指定斜面的应力，最大、最小正应力（主应力）及其对应的角度，最大、最小剪应力；,4)确定主平面的方位；,画出主应力单元体，则剪应力共同指向的平面为最大主应力所对应的平面。,28,例66、求主应力、主平面并画出主应力单元体；
6、,解：,1）取坐标轴,已知条件,2)计算主应力及其对应的角度,29,主平面方位角,主应力单元体,30,例6-7、两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横截面尺寸示于图中。试求出截面 C 上 a,b 两点处的主应力。,31,(1)计算支反力,并画内力图,MC=80 kN.m,FC左=200 kN,解:,(2)取a点的应力单元体,FB=50 kN,FA=200 kN,32,(4)求a点主应力,33,(4)横截面 C上b点的主应力,b点的单元体如图所示,b 点的三个主应力为,34,例68、两相交于一点处的斜截面上的应力如图，求该点的主应力。,解：,取应力单元体,sx,？,35,一、应力圆,将斜
7、截面应力计算公式改写为,把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去，得,6-3 应力圆及三向应力状态简介,36,因为x，y，xy 皆为已知量，所以上式是一个以，为变量的圆周方程。,圆心的坐标：,圆的半径：,此圆习惯上称为应力圆,或称为莫尔圆,应力圆上任一点的横坐标和纵坐标对应于某一斜截面上的正应力和切应力。,37,(1)建 s t 坐标系,选定比例尺,二、应力圆作法及对应关系,1、步骤,38,o,(2)以x面上的正应力值和切应力为点的横坐标和纵坐标，描点D,(4)连接 DD两点的直线与 轴相交于 C 点,(5)以C为圆心,CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆,(3)以y面上的正应力值
8、和切应力为点的横坐标和纵坐标，描点D,39,(1)该圆的圆心 C 点到坐标原点的距离为,(2)该圆半径为,2、证明,40,3、应力圆与单元体之间的对应关系,1）应力圆上的半径对应着单元体上某一截面；,2）半径旋转方向与截面旋转方向一致，半径转过的角度是截面转过角度的两倍。,与半径对应的应力圆上点的横坐标、纵坐标分别为截面的正应力和切应力。,41,1）应力圆上的半径对应着单元体上某一截面,与半径对应的应力圆上点的横坐标、纵坐标分别为截面的正应力和切应力。,42,q,2q,2）半径旋转方向与截面旋转方向一致，半径转过的角度是截面转过角度的两倍,43,三、应力圆的应用,1、求单元体上任一 截面上的应
9、力,从应力圆的半径 CD 按方位角 的转向转动 2 得到半径 CE.圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力。,44,2、求主应力数值和主平面位置,(1)主应力数值,A1 和 B1 两点为与主平面对应的点，其横坐标 为主应力 1，2,45,（2）主平面方位,由 CD顺时针转 20 到CA1,所以单元体上从 x 轴顺时针转 0（负值）即到 1对应的主平面的外法线,0 确定后，1 对应的主平面方位即确定,46,3、求最大切应力,G1 和 G2 两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力,最大、最小切应力等于应力圆的半径,47,例6-9、应力单元体如图所示,x=-1MPa,y=-0.4MPa
10、,xy=-0.2MPa,yx=0.2MPa,(1)绘出相应的应力圆,(2)确定此单元体在=30和=-40两斜面上的应力。,解:(1)选好比例尺画应力圆,量取OA=x=-1,AD=xy=-0.2,定出 D点;,OB=y=-0.4和，BD=yx=0.2,定出 D点.,以 DD 为直径绘出的圆即为应力圆。,48,将 半径 CD 逆时针转动 2=60到半径 CE,E 点的坐标就代表=30斜截面上的应力。,(2)确定=30斜截面上的应力,(3)确定=-40斜截面上的应力,将 半径 CD顺时针转 2=80到半径 CF,F 点的坐标就代表=-40斜截面上的应力。,49,只需知道过一点任意两个面上的应力，就可
11、画出应力圆进行应力状态分析,用图解法分析一点应力状态的方法：,1、画应力圆,1）分别以两个面上的正应力和切应力为横坐标和纵坐标，在s-t 坐标系中描出两点；,2）若两平面相互垂直，则对应两点的连线即为直径，连线与横坐标的交点为圆心；,3）若两平面不相互垂直，对应两点的连线不垂直于横坐标，则该连线的垂直平分线与横坐标的交点为圆心，圆心到任一点的距离为半径；,4）若两平面不相互垂直，对应两点的连线垂直于横坐标，则过其中一点作一条与该连线夹角为两平面夹角一半的射线，该射线与横坐标的交点为圆心，圆心到任一点的距离为半径；,50,2、通过应力圆进行应力状态分析,1）求斜截面上的应力值,根据斜截面与应力已
12、知平面的夹角a，从代表已知平面的半径旋转相应的2a角，得到对应于斜截面的半径，与半径相应的应力圆上点的坐标就是斜截面上的应力值。,2）求主应力及主平面方位角,应力圆与横坐标的交点对应于主平面，这两个点的横坐标就是主应力，在横坐标上从右到左依次为s1，s2，s3；另外，根据转向对应及两倍角关系，即可确定主平面方位角。,3）求最大、最小切应力,最大、最小切应力的绝对值等于应力圆的半径,51,例610、已知受力构件的A点处于平面应力状态，过A点两斜截面上的应力圆如图，试用应力圆求该点的主应力、主平面和最大剪应力。,解：,作应力圆,从n1顺时针转动180即为最大主应力的外法线方向。主平面位置如图。,从
13、应力圆上量得：,52,解：,可得应力圆上两点：,CD1与CD2 的夹角为1200，由此可画出应力圆。,由应力圆可计算出：,用图解法解例67、两相交于一点处的斜截面上的应力如图，试用应力圆求该点的主应力，并画出主应力单元体。,53,54,四、三向应力状态简介,对三向应力状态的要求,三个主应力均已知；,三个主应力中至少有一个主应力及其主方向是已知的；,定 义,三向应力状态三个主应力均不为零的应力状态,55,至少有一个主应力及其主方向已知,可先化为平面应力状态求出另两对面上的主应力和主方位，再按三个主应力均已知的情况考虑。,56,平行于s1的方向面其上之应力与s1无关，于是由s2、s3可作出应力圆
14、I,平行于s2的方向面其上之应力与s2无关，于是由s1、s3可作出应力圆 II,平行于s3的方向面其上之应力与s3无关，于是由s1、s2可作出应力圆 III,三个主应力均已知的情况,57,s1,s2,s3,58,tmax,例611、作图示单元体的应力圆并在图中标出最大剪应力。,59,(1),(3),平面应力状态特点：,其中一个主应力等于零的三向应力状态,60,例6-12、单元体的应力如图所示,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值。,解:,该单元体有一个已知主应力,61,由 x，xy 定出 D 点,由 y，yx 定出 D 点,以 DD为直径作应力圆,1,3,3=-26MPa,该单元体的三个主应力
15、,1=46MPa,2=20MPa,根据上述主应力，作出三个应力圆,2,62,3=-26MPa,该单元体的三个主应力,1=46MPa,2=20MPa,解法2：解析法,63,6-4 广义虎克定律与应变能密度,1、简单应力状态下虎克定律,正应力仅引起线应变(正应变),剪应力仅引起自身平面内的剪应变,应用条件：p，小变形和各向同性材料。,64,2、复杂应力状态下的广义虎克定律,+,65,+,+,66,某点在某方向上的线应变与该点三个互相垂直方向的正应力有关。,三个互相垂直的平面，各平面内的剪应变仅与自身平面内的剪应力有关。,67,若单元体是主单元体(即各面上的应力为主应力），则各方向的应变即为主应变，
16、其大小为：,各平面的剪应变,为零,68,对于平面应力状态(假设 z=0，xz=0，yz=0),69,例613、测得A点处的x=40010-6，y=-12010-6。已知：E=200GPa，=0.3，求A点在x和y方向上的正应力。,解：,取应力单元体,平面应力状态,解得：,能否求出任一横截面任一点上的正应力及切应力、变形、强度校核。,70,例6-14、支梁由18号工字钢制成.其上作用有力F=15kN，已知 E=200GPa,=0.3。,求：A 点沿 00，450，900 方向的线应变,h/4,71,解：,z,72,73,例6-15、边长 a=0.1m 的铜立方块，无间隙地放入体积较大，变形可略去
17、不计的钢凹槽中,如图所示.已知铜的弹性模量 E=100GPa，泊松比 m=0.34，当受到F=300kN 的均布压力作用时，求该铜块的主应力及最大切应力.,解：铜块横截面上的压应力,变形条件为,74,解得,铜块的主应力为,最大切应力,75,讨 论,“2”,76,应变能密度,微元应变能,77,由功能原理，得：,所以变形比能：,78,形状改变比能,体积改变比能,79,6-6 强度理论,目的：,建立危险点处于复杂应力状态下的失效判据及强度条件,拉压变形时材料的强度失效判据及强度条件,失效判据,强度条件,失效形式,塑性材料,脆性材料,断 裂,屈 服,关键是找出极限应力（屈服极限或强度极限）,如何找出极
18、限应力？,通过材料的拉压实验,80,如何建立复杂应力状态下的失效判据及强度条件？,1、确定失效形式,塑性材料,屈 服,脆性材料,断 裂,2、假定失效的主要原因,强度理论:,关于材料强度失效主要原因的假说,材料无论处于复杂应力状态还是处于简单应力状态，引起同一形式失效的因素是相同的。,通过材料的相应应力状态下的实验,失效因素的极限值与应力状态无关。,通过材料的轴向拉伸实验找出失效因素的极限值,3、确定引起失效因素的极限值,81,断裂准则(脆性材料),最大拉应力理论-第一强度理论,无论材料处于什么应力状态,只要最大拉应力达到只与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂。,失效判据,强度条件,82,
19、最大伸长线应变理论-第二强度理论,无论材料处于什么应力状态,只要最大伸长线应变达到只与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂。,失效判据,强度条件,83,屈服准则(塑性材料),最大切应力准则-第三强度理论,无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于最大切应力达到了只与材料性能有关的极限值。,强度条件,失效判据,84,形状改变比能准则-第四强度理论,无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的形状改变比能达到某一极限值。,85,失效判据,强度条件,86,把各种强度理论的强度条件写成统一形式,r 称为复杂应力状态的相当应力。,87,莫尔强度理论,任意一点的应力圆若与极限曲线相接触
20、，则材料即将屈服或剪断.,88,公式推导,89,1、适用范围,(2)塑性材料选用第三或第四强度理论；,(3)在三向拉应力相近时，无论是塑性还是脆性都将以断裂的形式失效，故选用第一或第二强度理论；,各种强度理论的适用范围及其应用,(1)一般脆性材料选用第一或第二强度理论；,(4)在三向压应力相近时，无论是塑性还是脆性材料都发生塑性破坏，故选用第三或第四强度理论。,90,2、强度计算的步骤,(1)外力分析：确定所受的外力值；,(2)内力分析：画内力图，确定可能的危险面；,(3)应力分析：确定危险点并画应力单元体，求出主应力；,(4)强度计算：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行 强度计算。,
21、3、应用举例,91,例6-16、对于图示各单元体，试分别求第三强度理论及第四强度理论的相当应力.,92,解：,（1）单元体（a）,93,（2）单元体（b）,94,F,解：危险点A的应力状态如图,例题6-17、直径为 d=0.1m 的圆杆受力如图,T=7kNm,F=50kN,材料为铸铁，=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度.,F,T,T,故安全,95,例6-18、一蒸汽锅炉承受最大压强为p,圆筒部分的内径为D，厚度为 t,且 t 远小于D.试用第四强度理论校核圆筒部分内壁的强度.已知 p=3.6MPa，t=10mm，D=1m，=160MPa。,96,内壁的强度校核,所以圆筒内壁的强度合适,用第四强度理论校核圆筒内壁的强度,若选用第三强度理论如何？,97,例619、图示应力状态，试根据第三、第四强度理论建立相应的强度条件。,解：,1、求单元体的主应力,98,2、建立强度条件,按第三强度理论：,按第四强度理论：,99,第三强度理论强度条件：,第四强度理论强度条件：,此类应力状态对应于什么变形？,横力弯曲,弯扭组合,拉扭组合,拉弯扭组合,压扭组合,压弯扭组合,第六章结束,
