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1、工程力学杆件基本变形横截面上的应力,授课教师：谢奇之电话：邮箱：,第五章 杆件基本变形横截面上的应力,51 拉伸与压缩变形横截面上的应力 52 扭转变形横截面上的应力 53 纯弯曲横截面上的应力 54 横力弯曲横截面上的应力,5-1 拉伸与压缩变形横截面上的应力,谁先坏？,结论：杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。,在拉（压）杆的横截面上，与轴力FN对应的应力是正应力。根据连续性假设，横截面上到处都存在着内力。于是得静力关系：,变形规律试验及平面假设：,现象：横向线ab、cd仍为直线，且仍垂直于杆轴线，只是分别平行移至、。,平面假设,变形前原为平面的
2、横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。,从平面假设可以判断：,（1）所有纵向纤维伸长相等,（2）因材料均匀，故各纤维受力相等,（3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量,横截面上的正应力计算公式,正应力s 和轴力FN同号。即拉应力为正，压应力为负。,讨论题：图示阶梯杆AD受三个集中力F作用，设AB，BC，CD段的横截面面积分别为A，2A，3A，则三段杆的横截面上()。轴力不等，应力相等；(b)轴力相等，应力不等；(c)轴力和应力都相等；(d)轴力和应力都不等。,a,例题2.2,图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为1515的方
3、截面杆。,解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象,45,2、计算各杆件的应力。,例题2.3,悬臂吊车的斜杆AB为直径d=20mm的钢杆，载荷W=15kN。当W移到A点时，求斜杆AB横截面上的应力。,解：,当载荷W移到A点时，斜杆AB受到拉力最大，设其值为Fmax。,讨论横梁平衡,由三角形ABC求出,斜杆AB的轴力为,斜杆AB横截面上的应力为,例题4 刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点，B端作用集中力F=25kN，已知CD杆的直径d=20mm，许用应力=160MPa。（1）试校核CD杆的强度；（2）求结构的许可荷载F；（3）若F=50kN，设计CD杆的直
4、径.,解：求CD杆受力,X,（1）校核强度,（2）结构的许可荷载F,由,得,(3)若F=50kN，设计CD杆的直径,由,得,取d=25mm,5.2 扭转变形横截面上的应力,扭转变形是指杆件受到若干个与轴线方向一致的力偶矢作用，使杆件的横截面绕轴线产生转动。,变形体静力学,变形几何关系,物理关系,静力平衡关系,应变变化规律,应力分布规律,应力计算公式,1.变形几何关系,观察变形：,圆周线长度形状不变，各圆周线间距离不变，只是绕轴线转了一个微小角度；纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个微小角度。,圆轴扭转的平面假设：,圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变
5、，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变。于是可知扭转时圆轴横截面上只有垂直于半径方向的切应力，而无正应力。,x,-扭转角（rad）,-dx微段两截面的相对扭转角,边缘上a点的错动距离：,边缘上a点的切应变：,发生在垂直于半径的平面内。,横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：,即,式中 相对扭转角j 沿杆长的变化率，常用j 来表示，对于给定的横截面为常量。,可见，在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应变gr 均相同；gr 与r 成正比，且发生在与半径垂直的平面内。,切应变垂直于半径。,2、物理关系：,这表明，横截面上各点的剪应力与该点到截面中心的距离成正比，其方向垂直于半径。即
6、剪应力沿截面的半径呈线性分布。,由上述两方程可得：,.(1),现象：低碳钢扭转时,破坏发生在横截面上。,原因分析：低碳钢为塑性材料，塑性材料抗剪能力差，圆轴扭转时，横截面上的切应力最大，因此,圆轴扭转时沿横截在发生剪切破坏。,现象：铸铁圆柱试件扭转时,破坏发生在与轴线约成45的螺旋面上。,原因分析：铸铁为脆性材料，脆性材料抗拉能力差，圆轴扭转时，在与轴线约成45的螺旋面上拉应力最大，因此,铸铁圆柱试件产生破坏的原因为最大拉应力。,3、静力平衡,其中 称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质。,从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式,以 代入上式得：,式中Wt称
7、为抗扭截面系数(模量)，其单位为m3。,横截面周边各点即 处的切应力最大,为：,极惯性矩：,抗扭截面系数：,圆形截面的极惯性矩,实心圆截面,圆环截面,实心圆截面,圆环截面,a=d/D,扭转强度条件：,1.等截面圆轴：,2.阶梯形圆轴：,强度条件的应用,（1）校核强度,（2）设计截面,（3）确定载荷,例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径D=89mm、壁厚=2.5mm，材料为20号钢，使用时的最大扭矩T=1930Nm,=70MPa。校核此轴的强度。,cm3,（2）强度校核,解：（1）计算抗扭截面模量,满足强度要求,例3.3 如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其
8、直径。并比较实心轴和空心轴的重量。,解：当实心轴和空心轴的最大应力同为时，两轴的许可扭矩分别为,若两轴强度相等，则T1=T2，于是有,在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。,可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31%。,实心轴和空心轴横截面面积为,例33、图示为某组合机床主轴箱第4轴示意图。,(1)试求截面上距轴线40mm处的点的剪应力。,MA=15.9kN.m,MB=MC=,MD,d=110mm,(2)若已知=40MPa，试校核轴的强度。,MA,MB,MC,MD,解：,1、内力分析,由扭矩图得知T2,危险横截面在AC段，,2、应力计算,MA,MB=MC
9、,MD,d=110mm,Tmax,3、强度计算,该轴的强度满足要求。,二、切应力互等定理,切应力互等定理：在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。,各个截面上只有切应力没有正应力的情况称为纯剪切。,5.3 纯弯曲横截面上的应力,一、纯弯曲,梁段CD上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲,梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲,凹入一侧纤维,凸出一侧纤维,中间一层纤维长度不变,中间层与横截面的交线,中性层,中性轴,二、梁的弯曲实验,缩短,伸长,中性层,中性轴,现象：横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变
10、为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。,平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。,单向受力假设：纵向纤维互不挤压，只受单向拉压。,1、变形几何关系,1、几何关系,y是AB到中性层OO1的距离,纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比,2、物理关系,纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单向应力状态。,直梁纯弯曲时，任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。,应力分布规律,3、静力关系,中性层的曲率半径r,中性轴的位置,待解决问题,横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系,这一力系简化，得到
11、三个内力分量,(1),(2),(3),将应力表达式代入(1)式，得,将应力表达式代入(2)式，得,横截面对z轴的静矩等于零，即z轴（中性轴）通过横截面形心。,由于y轴是横截面的对称轴，上式自然满足,(1),(2),横截面对y和z轴的惯性积,纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:,将应力表达式代入(3)式，得,(3),M为梁横截面上的弯矩,y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离,Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩,讨 论,(1)应用公式时,一般将 M,y 以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断 的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(为正号).凹入边的应力为压应力(为负号).,(2)最大正应
12、力发生在横截面上离中性轴最远的点处,(3)当中性轴为对称轴时,则公式改写为,常见截面的抗弯截面系数,矩形截面,实心圆截面,空心圆截面,(4)对于中性轴不是对称轴的横截面,5-4 横力弯曲时横截面上的正应力,弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l/h 5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。,横力弯曲最大正应力,1、横力弯曲正应力计算公式,弯曲正应力,2、弯曲正应力公式适用范围,弯曲正应力：,纯弯曲或细长梁的横力弯曲,横截面惯性积 Iyz=0,弹性变形阶段,抗拉与抗压的弹性模量相同,例5-3、矩形等截面梁，L=3m，h=150mm，b=100mm，q=3kN/
13、m，yk=50mm，s=10MPa，求危险截面上K点的正应力sk，及最大正应力。,解：,1、外力分析,2、内力分析(M图)：,危险截面在l/2处,3)应力分析：,例54、槽形截面铸铁外伸梁，已知：q=10kN/m，F=20kN，Iz=4.0107mm4,y2=140mm，y1=60mm，求危险截面最大应力。,解：,2、内力分析(M图),可能的危险截面B、D。,1、外力分析,可能的危险截面B、D。,B截面,D截面,3、应力分析,讨论：,1)对于脆性材料必须要同时校核拉、压正应力强度。,2)危险截面一般在峰值点或极值点，最好把各点的拉压最大应力计算出来，进行校核，不能遗漏。,1、矩形截面梁的切应力
14、,切应力t 的两个假设：,FS,1）t/FS,方向相同；,2）t 沿宽度均匀分布。,二、横力弯曲切（剪）应力,在这两个假设保证下，在距中性轴为y的横线pq上，各点的切应力都相等，且都平行于FS。,取微段dx，两侧面弯矩M、和M+dM，距中性轴为y的下面部分两侧面的正应力合力为：,讨论：,沿截面高度按抛物线变化。,上、下边缘,中性轴上,Sz*为截面上距中性轴为y的横线以外部分面积对中性轴的静矩。,2、工字形截面梁的切应力,腹板上的切应力计算：,腹板切应力近似计算公式：,可见：切应力沿腹板高度也是按抛物线分布。,腹板与翼缘交界处,中性轴上,弯曲切应力,3、圆形截面梁的最大切应力,4、切应力强度条件,（1）短梁或在支座附近作用较大载荷的截面；,（2）腹板薄而高的工字形梁；,（3）经铆接、焊接或胶合而成的梁，对铆钉、焊缝或胶合面等一般要进行剪切强度计算。,注：一般来说，梁的强度是由正应力强度条件来控制。,对于矩形截面：而一般的细长梁 l/h 5，所以 与弯曲正应力相比，剪应力很小，可以不检算。,只有下列情况才进行剪切强度计算：,谢 谢！,
