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1、第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性,三、初等函数的连续性,一、连续函数的和、差、积、商的连续性,二、反函数与复合函数的连续性,四、小结,一、连续函数的四则运算的连续性,【定理1】,例如,（上节已证）,由函数“连续”的定义和极限四则运算法则，立得:,【推广】,有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。,【结论】三角函数在其定义域内连续.,若f(x),g(x)在点x0处连续，则f(x)g(x)，,f(x)g(x),f(x)/g(x)g(x0)0在点x0处也连续.,二、反函数与复合函数的连续性,【定理2】单调的连续函数必有严格单调的 连续反函数.（证明略 P66）,例如,【结论】反三角函数在其
2、定义域内皆连续.,1.反函数的连续性,【定理3】,【证 P66】,2、复合函数的连续性,【意义】,极限符号 可以与函数符号 f 交换次序;,【例1】,【解】,同理,（即教材例6）,利用lnu的连续性,【教材例3】,【解】,可视为由,复合而成，,则,【例2】,【解】,同理可得,（即教材例7）,定理4,注意定理4是定理3的特殊情况.,例:,三、初等函数的连续性,结论1：基本初等函数在定义域内是连续的.,结论2：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;,在0点的邻域内没有定义.,注意,注意2.初等函数求极限
3、的方法代入法.,例3,例4,解,解,四、小结,连续函数的和差积商的连续性.,复合函数的连续性.,初等函数的连续性.,定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.,反函数的连续性.,思考题,作业：P69 3(偶)；4(奇)；6,解:,是它的可去间断点,第十节 闭区间上连续 函数的性质,一、有界性与最大值最小值定理,定义:,例如,定理1(有界性与最大值最小值定理),在闭区间上的连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.,定义:,二、零点定理与介值定理,几何解释:,几何解释:,证：,由零点定理,【推论】
4、在闭区间上连续的函数必取得介于最 大值 M 与最小值 m 之间的任何值.,【例1】,【证】,由零点定理,【分析】至少有一根存在性,【证】,设m=f(x1),M=f(x2),而 mM,在闭区间x1,x2(或 x2,x1)上应用介值定理，即可得证.,例2,证：,由零点定理,【注】,1.上面的 称为辅助函数.,把结论中的 改写成,移项，使等式右边为0,令左边式子为,2.使用零点定理作辅助函数F(x)的一般作法：,则 即为所求的辅助函数.,3.一定注意本节中的所有定理的条件都是充分条件.,三、小结,三个定理,有界性与最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意1闭区间；2连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;,思考题,下述命题是否正确？,作业：P74 3；5,思考题解答,不正确.,例函数,
