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1、高等数学,西南财经大学经济数学学院孙疆明,精,金,财,实数与函数,引言,实数的重要性质,函数,复合函数,反函数,函数的简单性质,初等函数,高等数学简介,一元函数微分学,利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质严密逻辑思维和连续问题的基本分析方法,极限及其理论,导数与微分及其理论,微分学应用,一元函数积分学,不定积分,定积分概念及其理论,积分学应用,本学期学习内容,参考书目：,1.高等数学引论一卷一分册 华罗庚,科学出版社,3.数学分析第一册 何琛,高教出版社,4.微积分和数学分析引论 第一卷第一、二分册 柯朗 科学出版社,2.微积分教程（第三版）谢明文主编,西南财经大学出版社,答疑时间地点：,通
2、博楼B座302经济数学学院,因此了解掌握实数的基本性质对于学习微积分是必要的基础.,实 数,连续模型,建立在实数基础之上,（一）实数集的有序性,（二）实数集的稠密性,（三）实数集的界与确界,(一)实数集的有序性,有且仅有一个式子成立.,在做加法和乘法运算时,保持下列关系:,数轴上的点和实数是一一对应的,从数轴上看,实数是从小到大依序自左至右排列的,（二）实数集的稠密性,有理数集是实数集的一个子集,有理数在实数集中是稠密的,即在任意两个不同的实数之间,都有无穷多个有理数,这一点具有非常重要的意义,数轴上的点P到原点距离加上符号,实数域的连续性 实数域 R 布满数轴,问：有理数布满数轴了吗？,有空
3、档！,这是一个无理数,定义：,(三)数集的界与确界,1.有界集,存在,对任意一个或任意取定,例如：,（1）自然数集合,（2）真分数集,定义：,例如：,没有最大值！,2.集合的确界,3.实数的连续性刻画确界公理,（1）如果非空实数集合有上界,则 必有上确界.,（2）如果非空实数集合有下界,则 必有下确界.,定理,有理数集与实数集性质的区别,在实数范围中的上确界,但是,在有理数范围中这个集合没有上确界,实数集是连续的有理数集不是连续的,（1）如果实数集的子集有上（下）界,则必有上（下）确界.,但是,有理数集的子集有界,则未必有确界.,例如,(2)想象一个点在实数轴上连续运动,在每一个时刻这个点所处
4、的位置都是一个实数,但不一定是有理数,邻域,6,第一节 函 数,例,研究市场问题.,需求、供给,需求Q,价格p,供给D,(一)函数概念,定义：,存在唯一,对任意一个或任意取定,问题：函数是什麽？,函数是一个规则,什麽规则？,函数是一种关系,什麽关系？,由一个量(自变量)的值，确定另一个量(因变量)对应数值的规则,一个量(因变量)随另一个量(自变量)变化的对应关系,函数还是一个变量,随自变量变化的变量,几点说明,1对应规则 f.f()按f确定括号内对应值,例,2定义域 D,也记为 D(f),函数 f 有意义的自变量集合,(1)给定函数时，给定自变量集合，函数只在给定集合有意义，在其他集合即使可以
5、计算，仍然叫无意义；,(计算的不是所给函数的值),(2)给定函数时，没有给定自变量集合，计算定义域原则；,分母不为0；,开偶数次方变量非负；,作对数运算变量大于0；,作反正弦、反余弦运算变量在1之间,例,例,例,例,函数的定义域D与对应关系f 一旦确定，两个量之间的关系函数也就完全确定了故称之为函数的两要素,反之如果有两个函数y=f(x),s=g(t),当它们定义,域相同,对应关系也一样(定义域中同样的自变量值,对应的函数值),就叫做两个函数相等.,记为：f(x)=g(x).,例 下列函数中相等的有,（二）函数的几个简单性质,1.奇、偶性(或对称性),对称y轴,对称原点,注：1奇偶函数定义域关
6、于原点对称；,2非奇非偶函数运算后，奇偶性不一定,例,解,例,解,2.单调性(增减性),3.周期性,注意 并不是所有的周期函数都有最小周期,例如：,称为狄里克莱函数,，T叫做f 的一个周期,注：1.周期函数定义域为双向无界集合；,例,解,例,证,例,答,证明函数 f(x)没有周期，只要通过定义域不同点(值)证明作周期的常数不存在即可.,4.有界性,定义：,上界,下界,例4,1.什么叫作函数无界？,2.确界的数学含义？,例,例,（三）复合函数与反函数,定义,1.复合函数,例,则有,则有,gf(x)=？,则有,所以,不能构成复合函数,因为,例,解,2.反函数,在函数定义中，要求函数是单值的，即,说
7、明,例,解,例,例,习惯上,记,（四）初等函数,基本初等函数,（1）常量函数,自变量取任意值，对应函数值都是c,周期、偶函数、有界定义域,（2）幂函数,（3）指数函数,（4）对数函数,(5)三角函数,(6)反三角函数,初等函数,基本初等函数经过有限次的四则运算,及复合运算所得到的函数,称为初等函数.,双曲函数,双曲正弦,双曲余弦,双曲正切,反双曲正弦,反双曲余弦,反双曲正切,非初等函数的例子,（1）符号函数,注意,（2）取整函数,例如,注意,函数表示的其他分类：,（1）显函数,（2）隐函数,（3）参数式函数,小结,一、学数学、用数学、培养理性思维,二、实数集有连续性 有理数集是稠密的,结束放映
8、,再见！,第一节 函数,（一）经济数学模型,现实经济极端复杂，不可能一下子理解其全部内在联系；通常研究仅为经济问题的某一方面或一部分,合理的研究方法是：根据目的，选择与问题相关的基本因素和关系集中研究这种精心简化的分析结构为经济模型.,用数学方程描述的经济模型结构为经济数学模型这些方程把一定数量的变量联系起来，并给出采用的分析假设.再通过计算可以推导出一系列逻辑上服从这些假设的经济结论或理论.,经济数学模型的方程通常分三种：,1.定义方程,具有同样含义的表达式间的关系；,例,2.行为方程,其他变量变化时，某一变量(随之)的变化方式；,例,例,3.平衡方程,涉及平衡概念建立的方程；,建立方程需要描述增长“速度”.,行为方程是反映一个变量随其他变量变化的方式，而要进一步达到效益最佳，就需要研究随其他变量变化的变量的变化规律.(如增长速度等),
