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1、西南财经大学经济数学系孙疆明,高等数学微积分,精,向量及其线性运算,数量积、向量积、混合积,平面,空间曲线及其方程,曲面及其方程,空间解析几何与向量代数,一、向量及其线性运算,向量概念,有大小、有方向的量称为向量.,两向量大小相等、方向相同叫做两向量相等；,两向量方向相同或相反,叫做两向量平行(共线);,起点放在一起，向量在一个平面内，叫做共面;,向量的线性运算(加减、数乘),与一向量 大小相等、方向相反的向量叫做原向量的负向量.记为：.,向量加法性质,向量数乘性质,定理：(向量平行条件),向量的数乘,证完,向量的乘法(积),向量的夹角,1.向量的数量积(点积)投影向量长度乘积,2.向量的向量
2、积(叉积),3.向量的混合积,二、空间直角坐标系,按x,y,z轴顺序,坐标系符合右手定则,称为右手系.,任意两坐标轴确定一个平面称坐标面.x,y 轴确定坐标面称xOy面(或xy面);x,z 轴确定坐标面称xOz面;y,z 轴确定坐标面称yOz面.,三个坐标面把空间分为八个部分，每个部分叫一个卦限.如图:,在xy坐标平面的上部,依次称为、卦限.,在xy面下部与第一卦限相对应的称为第卦限;以后依次称为第、卦限.,空间点坐标的位置特征,向量运算的坐标表示,例,例 已知两点(-1,0,2),(3,-2,4),求此两点间的距离.,向量的方向角,空间解析几何利用空间坐标系把空间点构成的几何图形与代数方程联
3、系起来.,若曲面S上任意一点的坐标,z,y,O,x,关于曲面的两个基本问题:,三.空间曲面与方程,则称方程F(x,y,z)=0为曲面S的方程,而称曲面S为方程F(x,y,z)=0的图形.(如上图),都满足方程F(x,y,z)=0；,而不在曲面S,上的点,坐标都不满足方程F(x,y,z)=0,1.巳知曲面的几何轨迹,建立曲面的方程,M(x,y,z),S,定义,2.巳知曲面的方程,研究方程的图形,由几何轨迹求曲面方程，常用距离、夹角公式.,例 一动点M(x,y,z)与两定点A(-1,0,4)和B(1,2,-1)的,故M(x,y,z)的轨迹方程,距离相等,求此动点M的轨迹方程.,(即A、B两点连线的
4、垂直平分,面的方程)为,结论：平面方程均为一次方程,反之亦然.,平面的空间位置：,xOz面的方程为 y=0,因xOy平面上任意一点的坐标满足z=0；,而凡满,3.坐标平面的方程分别为,xOy面的方程为 z=0;,yOz面的方程为 x=0;,足z=0的点又都在 xOy平面上；,平行于xOy面的平面方程为 z=c;,平行于yOz面的平面方程为x=a,平行于xOz面的平面方程为y=b,(c为常数,表示此平面在 z 轴上的截距),(b为常数,表示此平面在 y 轴上的截距),(a为常数,表示此平面在 x 轴上的截距),到定点 距离为R的点的轨迹.,特别地,以原点为球心,R为半径的球面方程为,2.球面,3
5、.柱面,巳知曲面的方程,研究方程的图形,通常情况下,三元方程的图形为一张空间曲面;至于,会得出曲面S的全貌这种方法称为,一、二元方程的图形,则应由具体的坐标系而定.,一般的三元方程，通常很难立即想出其图形的形状.,但若依次用平行于坐标面的平面x=a、y=b和z=c去截,曲面S，则可得一系列的截口曲线；,再将它们综合起来就,例4 考察下列的图形方程:,(1)2x-z=0(2)2x+y+2z=4,“平行截口”法.,方程不含y,用平行于xz面的任何平面 y=b 与之相交(联立)，得交线,与xOz面的交线为 2x-z=0,是 y=b 平面直线 2x-z=0,故该方程的图形是经过y轴且,的平面.,解(1
6、)由方程2x-z=0是一次方程平面.,D=0,平面过原点.,在xOz面上为直线 2x-z=0；,此为平面的截距式方程.,它与x、y、z轴的交点分别为(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2).,解 由方程 2x+y+2z=4有,(2)2x+y+2z=4,在空间，因方程,z=c 平面上圆心在z轴(原点),半径为R 圆.,解 在xy面上，方程,是原点为心，半径为R的圆.,用任意平行xy平面的平面 z=c 去截曲面，其交线为,不含z，,曲面是以 z 轴为心的圆柱面.,一般地,方程 F(x,y,z)=0 中缺少某个变量,则方程表示曲面平行那个作标轴，曲面称为柱面.柱面名称以坐标面交线(称为准线)名
7、称命名.,如,解 用平面z=c(c0)去截曲面,其截线为,当c=0时,只有原点(0,0,0)满足此方程；c0无图形.,若用平面x=0去截曲面,其截痕为,当c0时,其截痕为以(0,0,c)为圆心,显然c越大，其交线圆越大.,以,为半径的圆.,抛物线.,若用平面y=0去截曲面,其截痕为,抛物线.,方程图形称为旋转抛物面.,曲线L称为此旋转曲面的母线,曲面 是 z=y2绕z轴旋转而成抛物面.,一般，如果有一条平面曲线L(如y=f(x)，绕着同一平面内一条,已知直线(如x轴),旋转一周形成的曲面称为,旋转曲面.,已知直线,旋转曲面的轴.,称为此,y=f(x)绕x轴旋转,曲面方程:,y=f(x)绕y轴旋转,曲面方程:,z=f(y)绕z轴旋转,曲面方程:,称为椭球面(如图),方程,z,b,x,y,O,a,c,方程,z,
