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1、第十章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,第一节 二重积分的概念与性质,二重积分的引入二重积分的概念二重积分的性质,特点：平顶.,=？,特点：曲顶.,2曲顶柱体的体积,一、问题的提出,1平顶柱体的体积,二、二重积分的概念,1什么是曲顶柱体？,显然，平顶柱体的体积=底面积高，而曲顶柱体的体积不能直接用上式计算，那么怎样来计算呢？,以 xoy 平面的有界闭区域D为底、侧面是以D的边界曲线C作准线而母线平行于,轴的柱面，顶是曲面,这里,且在D上连续所形成的立体称为曲顶柱体（如上图）。,2.其体积V怎样计算？,由第五章求曲边梯形面积的方法就不难想到下面的解决办法：
2、,用一组曲线网将xoy面上的区域D划分为n个小区域,分别以各小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原曲顶柱体分为n个小曲顶柱体当这些小闭区域的直径很小时，,这时小曲顶柱体可近似看作平顶柱体在每个,中各任取一点,(sigma(西格玛)小写 大写),为高,底为,小平顶柱体体积为:,这n个平顶柱体体积之和,n个小闭区域的直径中最大值记作,当 0时，取和的极限存在，所得的极限就定义为所求曲顶柱体的体积,综合起来：分割、近似、求和、取极限.,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱
3、体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,步骤如下：,(3)用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，,(4)取极限:曲顶柱体的体积,(1)先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,小块将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量（极限）,3.二重积分的定义,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积
4、元素,(3)几何意义：当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值,(5)面积元素为,可写为,性质,当 为常数时，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,则有,例1.比较下列积分的大小:,其中D由x轴、y轴与直线 所围成区域.,解：,从而,由已知得积分区域D：,性质,（二重积分估值不等式）,解,2,例3.估计下列积分之值,解:D 的面积为,由于,积分性质5,即:1.96 I 2,性质,（二重积分中值定理）,*三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,
5、二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,一、利用直角坐标计算二重积分,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,当函数f(x,y)在区域D上连续时，我们可以用特定的分割来解决定积分的计算。,用平面x=x0截立体，截得A(x0).应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,注意D的特殊之处。,如果积分区域为：,其中函数、在区间 上连续.,X型,X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,如果积分区域为：,Y型,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三
6、个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,对非X、Y型区域,解,积分区域如图,例2.交换下列积分顺序,解:积分域由两部分组成:,视为Y型区域,则,例3.计算,其中D 是直线 y1,x2,及,yx 所围的闭区域.,解法1.将D看作X型区域,则,解法2.将D看作Y型区域,则,例4.计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线,则,解,5,例6,解,X-型,解,7,例8.计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:,先对 x 积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,对应有,二、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下,用同心圆 r=常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线=常数,分划区域D 为,即,设,则,特别,对,常见极坐标系下圆的方程：,解：积分区域如图,原积分,1,解：积分区域如图,原积分,2,例3.计算,其中,解:在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,注:,利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上,当D 为 R2 时,利用例6的结果,得,故式成立.,解：,4,解：,例5 计算二重积分,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,
