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1、 8.8 多元函数的极值,若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,极大值和极小值,1、定义,一、极值,(1),(2),(3),例1,例,例,2、多元函数取得极值的条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,时,具有极值,定理2(充分条件),的某邻域内连续且具有一阶和二阶连续偏导数,又,令,则:1)当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2)当,3)当,时,没有极值.,时,不能确定,需另行讨论.,若函数,例4.,求函数,解:第一步 求驻点,
2、得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,在点(1,0)处,为极小值;,解方程组,的极值.,第二步 求二阶偏导数,第三步 判别,在点(3,0)处,不是极值;,在点(3,2)处,为极大值.,在点(1,2)处,不是极值;,求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,3、多元函数的最值,解,如图,特别,在实际问题中，当根据问题的实际性质可知区域内部最值存在,且只有一个极值点P 时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),例7.,解
3、:设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2m3,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时,水箱所用材料最省.,二、条件极值,例，要设计一个容量为 V 的长方体开口水箱，试,问水箱的长、宽、高各为多少时，其表面积最小？,为此，设水箱的长、宽、高分别为 x,y,z,则表面,积为,依题意，上述的长、宽、高不仅要符合定义域的要,求：x 0,y 0,z 0,而且还须满足条件,这类附有约束条件的极值问题称为条件极值.
4、,问题的实质：求函数S=2(xz+yz)+xy 在条件 xyz=V下的极值。,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值:,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,条件极值的求法:,方法2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,1.作拉格朗日函数,利用拉格朗日乘数法求函数,在条件,下的可能极值点的
5、步骤如下：,2.求拉格朗日函数的可能极值点,求解拉格朗日函数的偏导数构成的方程组：,如何判定该可能极值点是否为极值点？在实际问题中根据问题本身来确定。,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点.,例如,求函数,下的可能极值点.,在条件,例8.,要设计一个容量为 V 的长方体开口水箱,问,求 x,y,z,令,解方程组,解:设 x,y,z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,得,若,于是,代入式得,不合题意.,若,代入式得,代入式得,代入式得,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此,当高为,P15/例7,例9.在椭圆 上求一点，使其到直线,的距离最短。,解 设P(x，y)为椭圆 上任意一点，则P到直线,的距离为,求d 的最小值点即求 的最小值点。作,由lagrange乘数法，令,得方程组,解此方程组得,于是,由问题的实际意义最短距离存在，因此 即为所求点。,由实际问题最小值的存在性,距离最短点为,
