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1、第1课时分类加法计数原理与 分步乘法计数原理,(一)考纲点击1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题,(二)命题趋势1从考查内容看，对本节的考查主要侧重于两个原理的应用，主要题型为利用两个原理解决一些计数问题2从考查形式看，多以选择题、填空题的形式出现，常与排列组合结合在一起命题，属中档题,1分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情共有N 种不同的方法,m1m2mn,(1)从集合1,2,3，10中任意选出三个
2、不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A3B4C6 D8,对点演练,解析：以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；以2为首项的等比数列为2,4,8；以4为首项的等比数列为4,6,9，共4个把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，故所求数列有8个答案：D,(2)(2013福建)满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14 B13C12 D10,解析：当a0时，关于x的方程为2xb0，此时有序数对(0，1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当a0时，44ab0，ab1，此时满足要求的有序数对为(1，1)，
3、(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)综上，满足要求的有序数对共有13个，选B.答案：B,2分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N 种不同的方法,m1m2mn,(1)有不同颜色的四件衬衣与不同颜色的三条领带，如果一条领带与一件衬衣配成一套则不同的配法种数是_答案：12,对点演练,(2)某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为_(用数字作
4、答)解析：其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是3020127 200.答案：7 200,分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列、组合问题的基础并贯穿始终分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且 其中一类，简单的说分类的标准是“，一步完成”而分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法“，多步完成”,只
5、属于,不重不漏,相互独立,(1)三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数是_(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_,题型一分类加法计数原理的应用,【解析】(1)用x，y表示另两边长，且不妨设1xy11，要构成三角形，必须xy12.当y取值11时，x1,2,3，11，可有11个三角形；当y取值10时，x2,3，10，可有9个三角形；当y取值6时，x只能取6，只有一个三角形由分类加法计数原理知：符合条件的三角形个数是：119753136(个)，故共有36个,(2)法一：根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两
6、位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类加法计数原理知：符合条件的两位数的个数共有8765432136(个)故共有36个,法二：分析个位数字，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1,2,3，8中的一个，故共有8个；个位是8，则十位可以是1,2,3，7中的一个，故共有7个；同理个位是7的有6个；个位是2的有1个,由分类加法计数原理知：符合条件的两位数的个数共有8765432136(个)故共有36个【答案】(1)36(2)36,【归纳提升】分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一
7、种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理,针对训练,解：以m的值为标准分类，分为五类第一类：m1时，使nm，n有6种选择；第二类：m2时，使nm，n有5种选择；第三类：m3时，使nm，n有4种选择；第四类：m4时，使nm，n有3种选择；第五类：m5时，使nm，n有2种选择共有6543220种方法，即有20个符合题意的椭圆,有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加
8、的项目不限,题型二分步乘法计数原理的应用,【解】(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36729(种)(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法654120(种)(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63216(种),【归纳提升】利用分步乘法计数原理解决问题：要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步
9、骤都完成了才算完成这件事,2(2014内蒙古呼和浩特二模)奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有_种,针对训练,解析：分两步安排这8名运动员第一步：安排甲、乙、丙在人，共有1、3、5、7四条跑道可安排，所以安排方式有43224(种)第二步：安排另外5人，可在2、4、6、8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有54321120(种)安排这8人的方式有241202 880(种)答案：2 880,若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么
10、函数解析式为y2x21，值域为5,19的“孪生函数”共有()A10个B9个C8个 D7个,题型三两个原理的综合应用,【归纳提升】用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析,3(2013山东)用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252C261 D279,针对训练,
11、解析：由分步乘法计数原理知：用0,1，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为91010900，组成没有重复数字的三位数的个数为998648，则组成有重复数字的三位数的个数为900648252，故选B.答案：B,【典例】(2014湖南张家界二模)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有()A34种 B48种C96种 D144种,易错易混：题意理解有偏差,【规范解答】本题是一个分步计数问题，由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置中选一个位置把A排列，有A2种结果程序B和C在实施时必须相邻，把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个安排，共有AA48种结果根据分步计数原理知共有24896种结果，故选C.【答案】C,【易误警示】解答本题有以下两点误区：(1)没有准确理解题意，没有把程序A优先安排，致思路混乱解题失误(2)把B、C捆绑一起安排时没有考虑B、C本身的排列而使结果致误,点击进入专项训练,
