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1、,第三章 功和能,牛顿定律力和状态的瞬时关系,功和能力在空间的积累,动量、冲量力对时间的积累,3-1 功 功率,一、恒力的功,、定义：力在位移方向上的分量与位移的大小的乘积。,、注意：功是标量，无方向但有正负零之分,二、变力的功,元位移,力所作的元功为,求和,总功为,对直角坐标系，有,对直角坐标系，有,S即为运动的轨迹,如：重力作功,三、合力的功,合力对物体所做的功为：,功的叠加原理,合力的功等于各个分力的功的代数和。,？,？,四、功率,瞬时功率,平均功率,单位：瓦特(W),恒力瞬时功率,功率：描述作功快慢的物理量。,定义：力在单位时间内所作的功为功率。用P表示。,例一水平放置的弹簧，其一端固
2、定，另一端系一小球，求小球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。（在O处弹簧无形变）,解：根据胡克定律,讨论：当,说明：弹力做功只与始末位置有关，而与中间过程无关。,例水平桌面上有一小球，质量为，在外力作用下，沿半径为R的圆从A至B移动了半圆周，如物体与桌面的摩擦系为，求此过程中摩擦力对物体所做的功？,解：据功的定义式,说明：摩擦力做功除与始末位置有关，还与中间过程有关。,若物体直接从A至B，,若物体从A出发，运动一周再回到A点时，W,若物体从A出发，运动一周再回到A点时，,说明：两例中的力不是同一类型的力。,例：一方向不变，大小按F=4t2(N)变化的力，作用在原先静止、质量为4kg的物体
3、上，求：(1)前3s内力作的功；(2)t=3s时力的功率。,解：(1)沿运动方向建立坐标系(一维)，则力F的元功为,（2）t=3s时的功率为,两边积分,得,h,例5.如图所示，木块m沿固定的光滑斜面下滑，当下降 h高度时，重力的瞬时功率是,（P14 8）,解：,D,3-2 动能 动能定理,一、动能：物体因运动而具有的能量，称为动能。,二、动能定理：,讨论做功与物体动能的变化量之间的关系。,W,下面从牛顿定律出发进行推导：,、推导：,合外力对物体所做的功物体的动能的增量,动能定理,、使用时应注意：,动能是状态量，功是过程量，两者由动能定理相联系。其实质是：力作用一段距离的累积效果，使物体的运动状
4、态发生变化；,b.考虑动能的增量时，只与始末状态有关；,c.是标量式，使用方便；,是合外力的功合外力作正功，物体动能增加；合外力作负功，物体动能减少；合外力不作功，物体动能不变。,d.速度 是相对量，是相对量，应考虑参考系；,例一个做直线运动的物体，若如图，则：,例质点的运动方程为，则在外力作用下，从时间内，外力做功为：,解：,3-3 势能 本节讨论在由若干个物体组成的系统中，由于系统中各物体有相互作用而存在的由物体间相对位置决定的能量-势能。,一、保守力的功,1、重力的功,质点m，在重力作用下，从a点移到b点，求重力的功。,讨论：1、变换路径，结果相同。,2、当yayb,0,重力作正功。,3
5、、当yayb，0,重力作负功。,2、弹力的功,3、万有引力的功,设物体m在物体M的引力场中，从a点运动到b点，求引力作的功。,二、保守力和非保守力,保守力：凡作功与路径无关，只与物体的始末位置有关的力。如重力、弹簧弹性力、万有引力、静电力等。保守力存在的空间，称为保守力场。,判别式；充要条件,或,三、势能,保守力的功是质点始末位置的函数。这种位置函数即势能。,定义：保守力所作的功等于势能增量的负值，即,始位置势能,末位置势能,例如,注意：,1、若保守力作正功，则势能减少；作负功则势能增加。如重力。,2、定义是对势能的增量而言，对特定位置，其势能值与势能零 点的选择有关。如,重力势能零点：地面。
6、则,弹力势能零点：平衡位置。则,引力势能零点：无穷远。则,所以，势能是质点间相对位置的单值函数，其值与势能零点的选择有关，因此势能只有相对意义。任一点的势能值，等于将物体从该点移动到势能零点保守力作的功。,强调：,1、势能是与保守力密切相关的，无保守力则无势能可言。,2、势能属于以保守力相互作用的物体组成的系统，而不能单 属于某个物体。如,重力势能属于：物体和地球,弹力势能属于：物体和弹簧,引力势能属于：两相互作用的物体系统,3、势能是物体相对位置的函数。其量值是相对的，因为势能 零点是人为规定的。但势能差或增量是唯一的，与势能零 点的选择无关。,4、一系统如同时存在几种保守力，则系统的总势能
7、等于与各 保守力相关的势能的代数和。,功,复 习,功率,动能,动能定理,（单质点）,3-功能原理 机械能守恒定律,一、机械能：,做机械运动的物体所具有的能量，称为机械能，用E表示。,？,二、功能原理：关于机械能的变化量与做功的关系。,有机械能而无势能,有机械能而无动能,系统：m1+m2,外力：系统外物体对系统内 各质点的作用力。,内力：系统内各质点间的相 互作用力。,、物体系的动能定理,分别对系统中物体用动能定理,两式相加：,内力做功，可以改变系统动能（内力一定成对出现）,不一定等于,因为内力做的功不仅与力的大小有关，还与路径有关。,物理意义：合外力和合内力对系统所作功的代数和等于系统 动能的
8、增量。,质点系的动能定理,？,、功能原理,由系统的动能定理,对系统而言，力做功，,则系统的动能定理为,功能原理,意义：外力的功与非保守内力的功之和等于物体系的机械能的增量。,单质点（某物体）,系统,系统,功和能量既有密切联系又有本质区别。功总是与能量变化的过程相联系，是能量变化的一种量度。而能量表示系统在一定状态下所具有的作功的本领，它和系统的状态有关。,注意：,系统,功能原理与动能定理并无本质区别，只是引入了势能。因此，就不需要考虑保守内力的功。这正是功能原理的优点，因为势能的计算往往比功的计算更方便。,只有外力和非保守内力作功，才会引起系统机械能的改变。,、机械能守恒定律,守恒律：,条件分
9、析：,当且仅当系统只有保守力做功时，机械能守恒。,（不为作用）,非保守力作用，但不做功，也满足条件。,物体受力做功的三种情况：（机械能守恒？）,有保守力做的功，非保守力做的功：不守恒,例：雨滴下落受阻力,有保守力做的功，非保守力做的功为：守恒,只有保守力做的功，：守恒,例：物体下落，略去阻力不计,使用机械能守恒律时注意：,条件分析：受力，是否为保守力做功,只有保守力做功，机械能才守恒,始末状态分析：,因涉及，一定要有参考零点选取,例设地球质量为M，万有引力恒量为G，一质量为的宇宙飞船返回地球，认为其在引力场中运动，（关闭发动机），当空从距地心R处降至R2处时，其动能增量为何？,解：,例质量为的
10、物体从高出弹簧处由静止自由下落到竖直放置的轻弹簧上，弹簧的劲度系数为，则弹簧被压缩的最大距离为何？,解：整个过程物体受重力，弹性力的作用,取（地）系统,势能,复 习,机械能守恒定律,功能原理,只有保守力作功时，机械能守恒。即,质点系的动能定理,例 如图,质量为m=2 kg的物体从静止开始沿1/4圆弧从A滑到B，在B处速度的大小是v=6m/s.已知圆的半径 R=4m.求物体从A到B摩擦力所作的功.,R,o,A,B,解：物体受力如图,取为研究对象是变力,解一：从功的定义,取自然坐标如图,切向,解二 质点动能定理,.,取m为研究对象,解三 功能原理,以m+圆弧+地为系统,取B点为势能零点,根据功能原
11、理：,m,例11.如图，质量 m 为 0.1kg 的木块，在一个水平面上和一个倔强系数k为 20 N/m 的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由原长压缩了0.4 m。假设木块与水平面间的滑动摩擦系数，问在将要发生碰撞时木块的速率 v为多少？,m,解：,法一.用功能原理求,系统：,木块+轻弹簧+地球,法二.用动能定理求,对象：,木块,R,R,R,解：,A,R/2,例12.如图所示，滑块置于一竖直弹簧上，弹簧原长为R,用力使弹簧压缩到R/2时释放，则滑块恰好能通过上方光滑的1/4圆弧形轨道，并由 A点抛出。求弹簧的劲度系数；求滑块落到地面时的水平位置。,物体从弹簧被压缩至 R/2抛出到达 A 点过程中机械能守
12、恒。设物体在 A点的速度为，地面为势能零点，有,A点处，物体的运动方程为,解以上二方程得,设滑块落到地面时距B点的距离为S，有,解得：,B,例：如图，摆长为，摆锤质量为m，开始时摆与铅直线间夹角为，在铅直线上距悬点x处有一小钉，摆可绕此小钉运动。问x至少为何值时才能使摆以钉子为中心绕一完整的圆周。,解：研究系统：地球,受力分析：绳的张力外力（不作功）,重力内力（保守内力）,只有保守力做功，所以系统机械能守恒。,1,2,始态：起始位置1,末态：最高位置,势能零点：（最低点）,由,由牛顿运动定律，有,小球刚过顶点的条件：T=0,解得,本章小结,主要公式：,功,动能定理,势能,（单质点）,（质点系）
13、,机械能守恒定律,基本要求：,掌握功的概念，能计算直线运动情况下变力的功。理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算重力势能、弹性势能和引力势能。掌握质点的动能定理，掌握机械能守恒定律，掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法，能分析简单系统在平面内运动的力学问题。,功能原理,补充例题,例：如图，再求小球下落到 角时的速度及绳中的张力。,解：下落过程，只有重力和 张力作功，但张力与运 动方向垂直，作功为零。因此，系统(小球和地球)机械能守恒。,势能零点：小球最低点位置,始态机械能：,由牛顿运动定律,过程：小球从水平位置下落 到 角位置。,两个状态：水平位置，角位置。,末态机械能：,由机械能守恒定律得
14、,例：一质量为2kg的物体，在竖直平面内由A点沿一半径为1m的1/4圆弧轨道滑到B点，又经过一段水平距离 后停止。设物体滑至B点时的速率为，摩擦系数处处相同。（1）物体从A到B点和从B点滑到C点过程中，摩擦力各作多少功？（2）求摩擦系数；（3）如圆弧轨道光滑，求物体在D点处的速度、加速度和物体对轨道的正压力（已知）。,解：(1)选物体为研究对象,物体受力,其中 始终不作功,由动能定理，从A到B有,从B到C，重力不作功，由动能定理有,(2)求摩擦系数,由牛顿运动定律，从B到C有,（3）选系统为物体、地球，则系统机械能守恒。选地面为势能零点，则,始态机械能：,末态机械能：,由机械能守恒定律，有,由
15、牛顿运动定律，有,取自然坐标，有,其中,例(书P.28 例3-7)证明例2-3中物m与物M的相互作用力所作之功之和为0.,M,m,解:M与m 的接触面光滑 受力分析如图 m对M的压力 M对m的支持力,与斜面垂直,符号规定如下:,则木块对地的速度为,在dt时间内 一对力对惯性系(地)所作功之和为,在有限的时间内 一对力对地所作功之和为,M,m,而,有,即一对力 对惯性系(地)所作之功的和为零.,张三慧力学证明，两质点间的“一对力”所作之功的和等于视其中一个质点受力且沿着它相对于另一个质点的路径移动所作的功。在上面的例子中，我们取劈为坐标原点，木块 所受劈对它的支承力与木块对劈的相对位移垂直，支承力所作之功为0，所以 一对力所作之功为0.,
