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1、导数,第三节,学习重点,函数的连续性概念,导数的定义及几何意义,函数的连续性(continuity),气温的变化，河水的流动，植物的生长等都是连续地变化着，反映在函数关系上是函数的连续性。,当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，一般的，当自变量改变很微小时，因变量也很微小，这个特性称为连续性。,连续函数在图像上是一条连续无间断点的曲线。,连续的定义,自变量的增量,函数的增量,如果函数y=f(x)在x0点连续,则必须同时满足下列三个条件：(1)f(x)在x0的某个邻域内有定义 极限值 存在 极限值与函数值 相等,增量的概念,则有,连续函数在几何图象上是一条连续不断的曲线.,连续性举例,1.讨论
2、绝对值函数在x=0处的连续性.,解 因为,所以,所以,所以绝对值函数在 x=0 处连续,连续性举例,2.证明:余弦函数 在 内连续.,证明,所以,由 的任意性可知原命题成立.,一般地,证明一个函数在某个区间内连续时,宜使用等价定义式;若要证明函数在某点处连续,则宜使用原定义式.,连续性举例,解 因为,要使函数在 点连续,则应有,所以,右连续（Continuity from the right）,单侧连续,左连续（Continuity from the left）,初等函数的连续性,函数在开区间 上每一点都连续，称为在开区间 内连续。,函数在开区间 上每一点都连续，且在 点右连续，点左连续,称为
3、在闭区间 上连续。,由连续性的定义及极限的运算法则，可以得到如下结论：,初等函数在其定义区间内都是连续的。,所谓定义区间，即指包含在定义域内的区间。,函数的间断点 discontinuity,Discontinuity at x=1 and x=2,若函数 有下列三种情形之一：,则称函数 在点 处不连续，点 称为函数 的间断点。,不连续点即为间断点,函数的间断点的分类,第一类间断点左、右极限都存在的间断点。,可去间断点左、右极限相等的第一类间断点。,跳跃间断点左、右极限不相等的第一类间断点。,第二类间断点非第一类的间断点。,无穷间断点使函数为无穷大的间断点。,振荡间断点极限不存在，也非无穷大的
4、间断点。,可去间断点(1)第一类,点 x=1 是函数 f(x)的可去间断点,可通过改变函数 f(x)在 x=1 处的定义，令 f(x)=1，则 f(x)在 x=1成为连续。,函数的间断点的类型,可去间断点(2)第一类,函数的间断点的类型,例如,但 不存在,点 称为函数的可去间断点。,可通过补充函数在 处的定义，令，则函数 在 处连续。,跳跃间断点第一类,点 x=0是函数 f(x)的跳跃间断点。,函数的间断点的类型,函数的间断点的类型,无穷间断点第二类,振荡间断点第二类,点 x=0是函数 f(x)的振荡间断点。,函数的间断点的类型,解 这是一个初等函数，其定义域为,而,所以，x=1是函数的第一类
5、的可去间断点；x=2是函数的第二类的无穷间断点。,例题,解,由 的定义可知，函数在 内连续,而,所以，x=1是函数的第二类间断点(无穷间断点)，x=0是函数的第一类间断点(跳跃间断点)。,解 由连续性的定义可知，要使函数在 x=0 点连续，则应有,而,最值定理（The max-min theorem）,闭区间连续函数的性质,在闭区间 a,b 上连续的函数,一定能取得它的最大值和最小值。,说明：可在区间内部取得最值，也可在区间端点取得最值。,介值定理 The intermediate value theorem,设函数 f(x)在闭区间 a,b 上连续,且最大值M不等于最小值m,那末，对介于m与
6、M之间的任意数C，在开区间（a,b）内至少存在一点，使得,零点存在定理,设函数 f(x)在闭区间 a,b 上连续,且 f(a)与 f(b)异号,那末，在开区间（a,b）内至少存在一点，使得,由零点存在定理可知，原方程在-1，5内必有根。,练习,解,解,又,而,例题,导数概念的物理背景变速直线运动的即时速度,极限思想：令 t t0，取平均速度的极限，则可得到在t0时刻的即时速度，即,直观想法：时间间隔越小，平均速度越接近即时速度。,如果质点做匀速直线运动，则任意时刻的速度也就是平均速度;如果质点做变速直线运动，该如何确定某一时刻的即时速度 呢？,问题：设某质点做直线运动，运动方程为 S=S(t)
7、,我们可用一段时间内,质点所发生的位移 除以所花的时间t,得到平均速度，即,导数概念的几何背景曲线的切线问题,问题：如右图所示，已知曲线及曲线上的一点M,如何确定曲线在点 M 处的切线？,过点 M 作曲线的割线 MN，当动点N 沿曲线向定点 M 靠拢时，割线 MN 则绕定点 M 旋转而趋于极限位置 MT,得到曲线在点 M 的切线。,切线：割线的极限位置。,上述过程可用极限式表示如下：,变化率问题,设某个变量 Q 随时间 t 的变化而变化，时刻 t 取值 Q(t),从时刻 t 经过 t 时间，量 Q 的改变量为,量 Q 的平均变化率为,导数 Derivative的概念,也可记作,若这个极限不存在
8、，则称在点x0 处不可导。,设函数 y=f(x)在点 x=x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量 x(点 x0+x 仍在该邻域内）时，相应地函数 y 取得增量 y=f(x0+x)-f(x0)，若y与x之比当 x0的极限存在，则称函数 y=f(x)在点 x0 处可导(derivable)，并称这个极限为函数 y=f(x)在点 x0 处的导数(derivative)，记为。,即,在引例中有,导数定义的不同形式,导数是函数变化率的精确描述，从数量方面刻画了变化率的本质,差商,解答,例题 设，求,解,所以,如果将式中的定点x=2改为任意点x,则有如下结果,其结果表示是x的函数，称
9、之为导函数。,若函数 y=f(x)在开区间 I 内的每点处都可导，就称函数 y=f(x)在开区间 I 内可导。这时，对于任意 x I,都对应着一个确定的导数值，这样构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数 y=f(x)的导函数（简称导数derivative），记作：,把 x0 换成 x,可得,或,点导数与导函数的关系,导函数的概念,如上例中,利用定义求导数举例,例1 求常值函数 的导数。,解,所以常数的导数等于零，即,例2 求正弦函数 的导数。,所以,同理可求得,解,对一般的幂函数有,例3 求幂函数 的导数。,解,所以,例如,例4 求对数函数 的导数。,解,所以,特别,单侧导数,左导数（der
10、ivative on the left）,右导数（derivative on the right）,和,例5 已知,解 因为,所以,，从而,导数的几何意义,法线是过切点且与切线垂直的直线,的切线方程为,法线方程为,解 根据导数的几何意义，所求切线的斜率为,所以，所求切线方程为,所求法线的斜率为,所求法线方程为,例6 求双曲线 在点 处的切线的斜率，并写出曲 线在该点处的切线方程和法线方程。,即,即,函数的可导性与连续性的关系,函数 f(x)在某点可导，则在该点连续。,证明 设函数 在点 可导,则 存在,于是,所以,即函数 在点 处连续,例7 讨论函数 f(x)=|x|在点 x=0 的连续性和可导性。,故函数 f(x)=|x|在点 x=0 连续,故函数 f(x)=|x|在点 x=0 不可导,连续是可导的必要非充分条件,解,函数 f(x)在某点连续，却不一定在该点可导。,小结：本节的主要内容熟练掌握函数的连续性的概念及导数的概念；掌握讨论函数的连续性的方法及初等函数的连续性结论；熟练掌握利用导数定义求导数的方法；掌握导数的几何意义；理解可导性与连续性之间的关系。,
