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1、对面积的曲面积分,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算方法,具有连续,求质,量 M.,一、对面积的曲面积分的概念与性质,1.引例:,曲面形构件的质量,设曲面形构件占有空间光滑曲面,面密度为,解决的方法:,(微积分方法),大化小,常代变,近似和,求极限.,2.定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f(x,y,z)叫做被积,f(x,y,z)是定义在 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面 上对面积,函数,叫做积分曲面.其中,表示 n 小块曲面的直径,的最大值(曲面的直
2、径为其上任意两点间距离的最大者).,注:,1.曲面形构件的质量为,3.积分的存在性:,积的曲面积分存在.,在光滑曲面 上连续,则对面,4.封闭曲面积分记号,3.性质:,(与对弧长的曲线积分性质类似),(1)线性性,(2)对积分域的可加性,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,则有,(3)曲面面积,(4)不等式,(6)估值,(7)积分中值定理,(8)对称性,例如:,二、对面积的曲面积分的计算方法,设有光滑曲面,定理:,f(x,y,z)在 上连续,则曲面积分,存在,且有,证明:由定义知,而,(光滑),说明:,可有类似的公式.,1)如果曲面方程为,2)若曲面为参数方程,则只要求出在参数意义下dS
3、,的表达式,就可将对面积的曲面积分转化为对参数的,二重积分.,计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,例33.1.,解:,思考:,若 是球面,被平行平面 z=h 截,出的上下两部分,则,计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解:设,上的部分,则,与,原式=,分别表示 在平面,例33.2.,例33.3.,设,计算,解:锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的,投影域为,则,思考:若例33.3 中被积函数改为,计算结果如何?,求半径为R 的均匀半球壳 的重心.,解:设 的方程为,利用对称性可知重心的坐标,而,用球坐标,思考题:例 33.3 是
4、否可用球面坐标计算?,例33.4.,计算,解:取球面坐标系,则,例33.5.,计算,其中 是球面,利用对称性可知,解:显然球心为,半径为,利用重心公式,例33.6.,计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,分析:若将曲面分为前后(或左右),则,解:取曲面面积元素,两片,则计算较繁.,例33.7.,求椭圆柱面,位于 xoy 面上方及平面,z=y 下方那部分柱面 的侧面积 S.,解:,取,例33.8.,例33.9.,设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度,h=36000 km,运行的角速度与地球自转角速度相同,试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.,(地球半径 R=6400 km),解:,建立坐标系如图,覆盖曲面 的,半顶角为,利用球坐标系,则,卫星覆盖面积为,故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为,由以上结果可知,卫星覆盖了地球,以上的面积,故使用三颗相隔,角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球,全表面.,说明:此题也可用二重积分求 A.,三内容小结,1.定义:,2.计算:设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式,简化计算的技巧.,已知曲面壳,求此曲面壳在平面 z1以上部分 的,的面密度,质量 M.,解:在 xoy 面上的投影为,故,备用题,例33.10.,设 是四面体,面,计算,解:在四面体的四个面上,同上,例33.11.,
