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1、,第三章 平面问题的直角坐标解答,第三章 平面问题的直角坐标解答,平面问题的直角坐标解答,3-1 多项式解答,3-2 位移分量的求出,3-3 简支梁受均布载荷,3-4 楔形体受重力和液体压力,3-5 级数式解答,3-6 简支梁受任意横向载荷,习题课,1,一、应力函数取一次多项式,3-1 多项式解答,平面问题的直角坐标解答,应力分量：,应力边界条件：,结论：（1）线形应力函数对应于无面力、无应力的状态。,（2）把任何平面问题的应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。,二、应力函数取二次多项式,1.对应于，应力分量。,2,平面问题的直角坐标解答,结论：应力函数 能解决矩形板在 方向受均布拉力（设）
2、或均布压力（设）的问题。如图3-1（a）。,图3-1,（a）,（b）,（c）,3,平面问题的直角坐标解答,3.应力函数 能解决矩形板在 方向受均布拉力（设）或均布压力（设）的问题。如图3-1（c）。,三、应力函数取三次多项式,对应的应力分量：,结论：应力函数（a）能解决矩形梁受纯弯曲的问题。如图3-2所示的矩形梁。,（a）,4,平面问题的直角坐标解答,具体解法如下:,前一式总能满足，而后一式要求：,代入式（a），得：,5,将式（a）中的 代入，上列二式成为：,平面问题的直角坐标解答,因为梁截面的惯矩是，所以上式可改写为：,结果与材料力学中完全相同。,注意：,对于长度 远大于深度 的梁，上面答案
3、是有实用价值的；对于长度 与深度 同等大小的所谓深梁，这个解答是没有什么实用意义的。,6,3-2 位移分量的求出,平面问题的直角坐标解答,以矩形梁的纯弯曲问题为例，说明如何由应力分量求出位移分量。,一、平面应力的情况,将应力分量 代入物理方程,7,平面问题的直角坐标解答,得形变分量：,（a）,再将式（a）代入几何方程：,得：,前二式积分得：,（b）,（c）,其中的 和 是任意函数。将式（c）代入（b）中的第三式,8,平面问题的直角坐标解答,得：,等式左边只是 的函数，而等式右边只是 的函数。因此，只可能两边都等于同一常数。于是有：,积分以后得：,代入式（c），得位移分量：,其中的任意常数、须由
4、约束条件求得。,（d）,9,平面问题的直角坐标解答,（一）简支梁,梁轴的挠度方程：,10,平面问题的直角坐标解答,（二）悬臂梁,二、平面应变的情况,只要将平面应力情况下的形变公式和位移公式中的 换为，换为 即可。,11,3-3 简支梁受均布载荷,平面问题的直角坐标解答,设有矩形截面的简支梁，深度为，长度为，受均布载荷，体力不计，由两端的反力 维持平衡。如图3-4所示。取单位宽度的梁来考虑，可视为平面应力问题。,用半逆解法。假设 只是 的函数：,则：,对 积分，得：,解之，得：,其中，、是任意函数，即待定函数。,（a）,（b）,12,平面问题的直角坐标解答,现在考察，上述应力函数是否满足相容方程
5、。为此，对 求四阶导数：,将以上结果代入相容方程，得：,13,平面问题的直角坐标解答,14,平面问题的直角坐标解答,这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部应力边界条件都满足，除非常数、等于特定值，这样以上应力分量才是正确的解答。,因为 面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于 yz面。这样，和 应当是 的偶函数，而 应当是 的奇函数。于是由式（f）和（h）可见：,15,平面问题的直角坐标解答,整理，得：,由于这四个方程是独立的，互不矛盾的，而且只包含四个未知数，所以联立求解，得：,16,平面问题的直角坐标解答,17,平面问题的直角坐标解答,将式（l）代入，上式成为：,18,平
6、面问题的直角坐标解答,式（q）可以改写为：,各应力分量沿铅直方向的变化大致如图3-5所示。,在 的表达式中，第一项是主要项，和材料力学中的解答相同，第二项是弹性力学提出的修正项。对于通常的浅梁，修正项很小，可以不计。对于较深的梁，则需注意修正项。,的最大绝对值是，发生在梁顶。在材料力学中，一般不考虑这个应力分量。和材料力学里完全一样。,19,3-4 楔形体受重力和液体压力,平面问题的直角坐标解答,20,平面问题的直角坐标解答,取坐标轴如图所示。假设应力函数为：,21,平面问题的直角坐标解答,22,平面问题的直角坐标解答,23,平面问题的直角坐标解答,3-5 级数式解答,24,平面问题的直角坐标
7、解答,将式（c）与（d）叠加，得：,其中、也都是任意常数。,（d）,25,平面问题的直角坐标解答,26,平面问题的直角坐标解答,这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。如果能够选择其中的待定常数、或再叠加以满足平衡微分方程和相容方程的其它应力分量表达式，使其满足某个问题的边界条件，就得出该问题的解答。,27,3-6 简支梁受任意横向载荷,平面问题的直角坐标解答,28,平面问题的直角坐标解答,29,平面问题的直角坐标解答,应力分量简化为：,（1）,30,平面问题的直角坐标解答,代入边界条件（b）和（a），得：,由此可以得出求解系数、的方程。,31,平面问题的直角坐标解答,32,平面问题的直角坐标
8、解答,33,平面问题的直角坐标解答,3-7 平面问题的直角坐标解答习题课,练习1设有矩形截面的竖柱，其密度为，在一边侧面上受均布剪力，如图1，试求应力分量。,34,平面问题的直角坐标解答,35,平面问题的直角坐标解答,36,平面问题的直角坐标解答,（1）中的 不能略去，因为 对剪应力有影响。（2）在上端部，首先应使应力分量精确满足边界条件，如不能，则可运用圣维南原理放松满足。本题 能精确满足，因此，在此处是精确解，而 在上端部是近似解。（3）若设，则导出的应力函数 和应力分量为：,4.分析：,（5）,37,平面问题的直角坐标解答,常数确定后代入式（7），所得结果与式（5）相同。,练习2 如图2
9、（a），三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。,38,平面问题的直角坐标解答,39,平面问题的直角坐标解答,3.分析：本题的应力函数可用量纲分析方法得到，此函数亦可用来求解上边界受线形载荷 作用的问题，见图2（b）。,40,解：将代入相容条件，得：,满足双调和方程，因此，可作为应力函数。将代入相容条件得,也能作为应力函数。把 代入相容条件，得：,所以，也可作为应力函数。,练习4 图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取应力函数为：，求简支梁的应力分量（体力不计）。,平面问题的直角坐标解答,解：1、由满足相容方程确定系数A与B的关系：,（1）,平面问
10、题的直角坐标解答,图3,2、含待定系数的应力分量为,3、由边界条件确定待定系数：,平面问题的直角坐标解答,由以上式子可求得：,平面问题的直角坐标解答,由此可解得：,4、应力分量为,练习5 如图所示，右端固定悬臂梁，长为l，高为h，在左端面上受分布力作用（其合力为P）。不计体力，试求梁的应力分量。,平面问题的直角坐标解答,1、用凑和幂次不同的双调和多项式函数的半逆解法来求解。显然，应力函数 所对应的面力，在梁两端与本题相一致，,解：,只是该函数在上、下边界面上多出了一个大小为 的剪应力，为了抵消它，在应力函数 上再添加一个与纯剪应力对应的应力函数：,2、由平衡条件得含有待定系数的应力表达式为：,3、利用边界条件确定，并求出应力分量：上、下边界：,平面问题的直角坐标解答,图4,左端部：,解得：,平面问题的直角坐标解答,结 束,平面问题的直角坐标解答,
