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1、第4章 控制系统的频率特性,4.1 频率特性 4.2 频率响应的Nyquist 图 4.3 频率响应的Bode图4.4 控制系统的闭环频率响应,时域分析法研究系统的各种动态与稳态性能比较直观、准确,缺点是：1.当某些系统工作机理不明了时，数学模型难以确定，因而无法分析系统性能。,2.当系统的响应不能满足技术要求时，也不容易确定应该如何调整系统来获得预期效果。,频域分析法：是以输入信号的频率为变量，对系统的性能在频率域内进行研究的一种方法。,特点：1.不必求解系统微分方程，而采用作图法分析，有很强的直观性，计算工作量小；,2.由系统开环特性即可定性分析闭环响应的特点，定量估算响应性能指标。,3.
2、对难以用数学模型描述的系统和元件，可用实验方法求出系统的频率响应，从而对系统和元件进行准确而有效的分析。,4 能较方便地分析系统参数对系统性能的影响，并进一步提出改善系统性能的方法。,4.1 频率特性,4.1频率特性的基本概念,RC网络的传递函数为,输入信号,输出信号,系统稳态输出,定义：,RC网络幅频特性,RC网络相频特性,将s以j 代入RC网络传递函数，即得RC网络频率特性,RC电路的这一特性，对于任何稳定的线性网络都成立,虽然在前面的分析中，设定输入信号是正弦信号，然而频率特性是系统的固有特性，与输入信号无关，即当输入为非正弦信号时，系统仍然具有自身的频率特性。,频率特性的定义：正弦输入
3、时，频率特性就是系统稳态输出量与输入量之复数比；非正弦、非周期输入时，频率特性是系统输出量的付氏变换与输入量的付氏变换之比。,当输入为非正弦周期信号时，其输入可用傅立叶级数展成正弦波的叠加，其稳态输出为相应的正弦波叠加。,当输入为非周期信号，可将该非周期信号看作周期T趋于无穷大的周期信号。,频率特性的求取,1.已知系统微分方程，把输入信号以正弦函数代入，求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比，即得频率特性。,2.根据系统传递函数来求取。将s=j 代入传递函数中，可直接得到系统的频率特性。,3.通过实验测得,现在已有一些测试系统频率特性的专用仪器，如增益相位计，对于各个频率的输入，在增益相
4、位计上可直接读出输出、输入的振幅比以及相位差,频率特性是一个复数，有三种表示：,代数式,极坐标式,指数式,频率特性的矢量图,4.2 频率特性的几何表示,1.幅相频率特性（Nyquist 图）当频率 从0到无穷大变化 时，向量G(j)的端点在复平面上的运动轨迹。规定极坐标图的实轴正方向为相角零度线，逆时针转过的角度为正，顺时针转过的角度为负。,2.对数频率特性（Bode图）由两张图组成：一张是对数幅频特性，另一张是对数相频特性。,RC网络的幅相曲线绘在s平面上,4.2 频率响应的Nyquist 图,一.典型环节的Nyquist图 1.放大环节,频率特性,幅频特性,相频特性,传递函数,2.积分环节
5、,频率特性,幅频特性,相频特性,积分环节的幅相频率特性曲线为一条与虚轴下半轴相重合的直线，由无穷远点指向原点。,3.微分环节,频率特性,幅频特性,相频特性,微分环节的幅相频率特性曲线为一条与虚轴上半轴相重合的直线，由原点指向无穷远点。,4.一阶惯性环节,频率特性,幅频特性,相频特性,一阶惯性环节的幅相频率特性曲线是一个半圆。,5.一阶微分环节,频率特性,幅频特性,相频特性,实频特性,一阶微分环节的幅相频率特性曲线是一条由(1,j0)点出发，平行于虚轴的一条直线。,6.二阶振荡环节,频率特性,幅频特性,相频特性,振荡环节的 Nyquist曲线不仅与频率 有关，而且与阻尼比也有关。越小，幅频越大。
6、当 小到一定程度时，幅频将会出现峰值：,r为谐振频率Mr为谐振峰值,7.二阶微分环节,8.延迟环节,频率特性,幅频特性,相频特性,延迟环节的幅相频率特性曲线是一个以坐标原点为圆心，以1为半径的圆。,当频率取正值时，,总是负值，意即曲线由(1，j0）点开始，沿顺时针方向周而复始转动。,二 开环系统幅相频率特性的绘制,一般开环系统均由典型环节G1(s)、G2(s)、Gn(s)串联组成，则其传递函数为,其频率特性为,开环系统幅频特性等于各典型环节幅频特性的乘积,开环系统相频特性等于各典型环节相频特性代数相加,Nyquist图的一般作图方法,1 分别写出开环系统中各个典型环节的幅频特性和相频特性。,2
7、 写出开环系统的A()和()表达式。,3 分别求出=0和为无穷时的G(j)。,4 求Nyquist与实轴交点，交点可用ImG(j)=0求出。,5 求Nyquist与虚轴交点，交点可用ReG(j)=0求出。,6 必要时再画出中间几点。,7 勾画大致曲线，,频域分析法：是以输入信号的频率为变量，对系统的性 能在频率域内进行研究的一种方法。,频率特性的定义：正弦输入时，频率特性就是系统稳态输出量与输入量之 复数比。,幅相频率特性（Nyquist 图）当频率 从0到无穷大变化 时，向量G(j)的端点在复平面上的运动轨迹。规定极坐标图的实轴正方向为相角零度线，逆时针转过的角度为正，顺时针转过的角度为负。
8、,4.3 频率响应的Bode图(对数坐标图),幅相频率特性（Nyquist 图）的优点：在一张图上把频率由0到无穷大区间内各个频率的幅值和相位都表示出来。,缺点：在幅相频率特性图上，很难看出系统是由哪些典型环节组成的，并且绘图较麻烦。,对数频率特性能避免上述缺点，因而在工程上得到广泛的应用。,一.对数频率特性的坐标,对数幅频特性是对数值20lgA()和频率的关系曲线。,对数相频特性是相角()和频率的关系曲线。,这两条特性曲线画在半对数坐标纸上，采用同一个横坐标作为频率轴。横坐标采用对数分度，但标写的却是实际值，单位为弧度/秒（rad/s).,该坐标特点：在坐标轴上任取两点若使其满足1/2=10
9、则在对数频率轴上两点的距离为 lg1-lg2=1,即角频率变化10倍，在横轴上线段长均等于一个单位，叫做一个10倍频程，以dec表示。,对数幅频特性曲线的纵坐标是按L()=20lgA()均匀分度，L()称为增益，单位是分贝（dB），幅值A()每增大十倍，增益L()就增加20分贝。纵坐标是线性刻度。对数相频纵坐标为相角()，单位是度，采用线性刻度。,优点：将低频段展宽后清晰画出，同时可在一张图上画出频率特性的中、高频段，,二.典型环节的 Bode图 1.放大环节,频率特性,对数幅频特性,对数相频特性,是一条与横轴相重合的直线。,2.积分环节,频率特性,对数幅频特性,对数相频特性,是一条通过=1且
10、斜率为-20dB/dec的斜线,是一条平行于横轴，纵坐标为-90度的直线。,3.微分环节,频率特性,对数幅频特性,对数相频特性,是一条通过=1且斜率为20dB/dec的斜线,是一条平行于横轴，纵坐标为90度的直线。,4 惯性环节,频率特性,幅频特性,相频特性,对数幅频特性,对数相频特性,采用渐近线分段表示对数幅频特性：,1.先求出转折频率=1/T,2.1/T时，取0dB 水平线,3.1/T时，取斜率为-20dB/dec直线，该直线在转折频率处正好与低频渐近线衔接。,渐近线近似法的原理,1)低频段 很小，当T远远小于1，略去2T2项 L()=-20lg1=0dB这是一条与横轴相重合的直线，称为低
11、频渐近线,2)高频段很大，当T远远大于1时，略去“1”项,3)当=1/T时，L()=0dB即高频渐近线在频率=1/T时正好与低频渐近线相交。=1/T称为转折频率,是一条斜率为-20dB/dec的直线，称为高频渐近线,5 一阶微分环节,频率特性,幅频特性,相频特性,对数幅频特性,对数相频特性,低频段 L()=0dB与横轴重合的直线,2)高频段 L()=20lg 是一条斜率为20dB/dec的直线,3)转折频率=1/,6.二阶振荡环节,频率特性,对数幅频特性,在低频段，很小，T1，,在高频段，很大，T1，,二阶振荡环节幅频特性的Bode 图可用上述低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示，两条渐
12、近线交于无阻尼自然频率,相频特性,在低频段，很小，()约等于0，高频段，很大，()，转折频率处，,7.二阶微分环节,8.延迟环节,频率特性,对数幅频特性,对数相频特性,相角总是迟后的。,三 开环对数频率特性曲线的绘制,一般开环系统均由典型环节G1(s)、G2(s)、Gn(s)串联组成，则其传递函数为,其频率特性为,幅频特性,对数幅频特性,对数相频特性,即开环对数幅频特性和相频特性分别为几个典型环节的对数幅频特性和相频特性之和。,四.最小相位系统,在s右半平面既无极点，也无零点的传递函数，称为最小相位传递函数；否则，称为非最小相位传递函数。,最小相位系统有一个重要特点：幅频特性和相频特性之间具有
13、确定的单值对应关系。,具有最小相位传递函数的系统，称为最小相位系统。,例4-8 某两个单位反馈的控制系统的开环传递函数分别为,试分析系统的Bode图。,解 根据传递函数可得系统的频率特性为,(a)G1(s)、G2(s)的幅频曲线(b)G1(s)的相频曲线(c)G2(s)的相频曲线,两个系统的幅频特性Bode图相同，但相频特性的Bode图不同。其相频特性为,4.4 控制系统的闭环频率响应,一.系统的频域指标,图示为闭环系统的频域特性,为系统的截止频率，定义为系统的对数幅频特性,下降-3dB(或幅值下降为)时对应的频率。,频宽指系统的频率从0开始，到对数幅频特性下降-3dB时所对应的频率范围。一般情况下，所求的截止频率就是系统的频宽。,谐振频率：指系统产生峰值时对应的频率。,谐振峰值：指在谐振频率处对应的幅值。,对于二阶系统,系统的谐振频率为,谐振峰值为,系统的频宽为,
