数学建模-如何提出假设.ppt

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1、3.如何作好建模过程中的假设,根据实际问题需要提出新的不同假设,实例 席位分配问题：甲，乙，丙三个公司各投资 103万元，63万元，34 万元组建联合企业集团。为了成立由 20 人组成的集团董事会，按 投资数比例分配 董事席位如下：甲公司 10人(20(103/(103+63+34)=2051.5%=10.3人)，乙公司 6人(20(63/(103+63+34)=2031.5%=6.3人)，丙公司 4人(20(34/(103+63+34)=2017%=3.4人)。,经一段时间后，委员会需要增加一个代表席位，变为 21人董事会，根据投资数比例分配办法，重新计算如下：甲公司 11人（2151.5%

2、=10.8 人），乙公司 7人（2131.5%=6.61 人），丙公司 3人（2117%=3.57 人）。,问题分析：“按投资数比例分配席位是科学合理”的说法，在增加 席位这一新问题上，显然是一个不成功的假设。需提出新的 假设，并建立新的席位分配模型，以期解决在增加代表人数时，某个单位不仅得不到代表增加数，反而减少原有代表数的问题。,出现 反常现象（Alabama Paradox）！,分配席位过程中，“公平”是一个原则。“公平”的数量化度量方法是考虑代表率。但由于人数需取整原因，不可能做到绝对公平，即绝对按代表率数值来分配整数席位是无法实施的，因此在评价两种都不是绝对公平的方案时，要对不公平程

3、度作出数量化度量，以不公平程度最小为取舍原则。,什么是一个方案的 不公平程度的数量度量？先研究只有两个公司的情况。如果已有分配方案：,公司 投资数 席位 代表率甲公司 p1 n1 p1/n1乙公司 p2 n2 p2/n2,假定 p1/n1 p2/n2,即对甲公司存在 不公平因素。借用数学中的有关概念,引入该方案的相对不公平值 r 来量化这个 不公平因素：,这时，若再增加一席，有两种方案：,甲 p1 n1+1 p1/（n1+1）乙 p2 n2 p2/n2 和 甲 p1 n1 p1/n1 乙 p2 n2+1 p2/（n2+1）,它们各自有两个相对不公平值 r1 和 r2:,我们现在为了解决两公司情

4、况中增席而不发生反常现象（Alabama Paradox）的问题，认为“取相对不公平值为最小的方案来操作”是能够建立科学合理的席位分配模型的（一种新假设）。在这种最合理的假设下，我们的操作过程（建立模型过程）为比较 r1 和 r2 的大小：,如果 r1 r2，则给乙公司增席；如果 r 2 r1，则给甲公司增席。,若记,则“给甲公司增席”r1 r2,Q1 Q2.,称之为 Q 值（Quota），,上述建模方法因此称为“比较 Q 值大小法”，简称“Q值法”，,具体地说，就是在现有的席位分配状态下，各自计算Q值，哪个 Q 值大，就增加一席给哪个公司。至于开始的分配方案，可以 均取为一席，然后用上述Q值

5、法从第三席起进行增席操作，直止 所有席位分配完毕。这样建立的席位分配模型，显然能够解决 问题而不出现 Alabama Paradox。,这种模型也适用于两个公司以上的多公司情况。,例如我们来解决本节开始提出的三公司分配董事会席位问题：,公司（投资数）席位数（Q值）甲公司（103万元）1（5304.5）2（1768.2）2（1768.2）乙公司（63万元）1（1984.5）1（1984.5）2（661.5）丙公司（34万元）1（578）1（578）1（578）3（884.1）4（530.5）4（530.5）4（530.5）2（661.5）2（661.5）3（330.8）3（330.8）1（578

6、）1（578）1（578）2（192.7）5（353.6）6（252.6）6（252.6）7（189.4）3（330.8）3（330.8）4（198.5）4（198.5）2（192.7）2（192.7）2（192.7）2（192.7）7（189.4）7（189.4）8（147.3）9（117.9）5（132.3）5（132.3）5（132.3）5（132.3）2（192.7）3（96.3）3（96.3）3（96.3）9（117.9）10（96.4）11（80.4）116（94.5）6（94.5）6（94.5）6 3（96.3）3（96.3）3（96.3）4,问题的最后答案是：甲公司 11席，乙

7、公司 6席，丙公司 4席。,从分配过程中可看到，实际上总共20个席位时，分配方案是（11，6，3），而不是（10，6，4），在此基础上再增一席，就变成了（11，6，4）,我们称 Q值法，即分配方案的相对不公平值应最小，是建立 席位分配模型的一种 假设，而不是一种真理，这表明还可以提 出另外种种假设，从而可能得到席位分配模型的另外的解答方案。答案不唯一！这就是数学建模的魅力所在！,例如，在多公司席位分配问题中，有人认为衡量各种方案中不公 平程度最小的数量指标（建模的不同假设）是 rmax 最小值，从而得到一种称之为 rmax 最小法 的数学模型。,这种方法的操作过程是：设想将增加一席分别给某公司

8、，共有 若干个（n 个）方案，每个方案中公司与公司之间都可以算出 一个相对不公平值 r，一共可得到 n（n+1）/2 个 r 值，其中 最大的一个 r 值称为该方案的 rmax 值，在 n 个 rmax 值中最小 的值，称为 rmax 最小值（两极分化最小的模型是好模型），它所对应的分配方案就认为是相对而言最为公平合理的方案。,考察以下分配 13 个席位后，再增加一席时的操作实例：公司 投资数 已分配席位数 甲公司 25 2 乙公司 100 10 丙公司 14 1,p n p/n 25 3 8.33(1)100 10 10 rmax=（14-8.33）/8.33=0.68 14 1 14 p

9、n p/n 25 2 12.5(2)100 11 9.09 rmax=（14-9.09）/9.09=0.54 14 1 14 p n p/n 25 2 12.5(3)100 10 10 rmax=（12.5-7）/7=0.785 14 2 7,根据 rmax最小法，应取方案（2）,即(2,11,1)为相对而言 最为“公平合理”的增席方案。,在此（2，10，1）的基础上，如果要增加一席有三种方案：,故根据 Q 值法，在（2，10，1）时，相应的 Q 值 分别为（104.1,90.9,98),故增一席时应取方案（1），即(3,10,1)；而根据 按投资数比例法(140.179=2.506 3;14

10、0.719=10.07 10;140.101=1.41 1)，也应取方案（1），即(3,10,1)！,该问题产生了两个相互矛盾但都为“正确”的解答！,应该注意到，,投资数比例值 此时 Q 值25/139=0.179 104.16100/139=0.719 90.914/139=0.101 98,在数学模型（高教出版社）第 55页习题 1中，还介绍了一种比利时大学生 Victor Dhondt 提出的 DHondt 法，请分析一下 他提出的方案公平（不公平）程度数量化方法（建模新假设）是 什么？这种方法是否可以解决增席问题？它与这里介绍的 Q值法 和 rmax最小法 在具体操作中是否会有不一样的

11、结果？如果有不一样的情况，则可以说明 Q值法、rmax最小 和 DHondt 法 是不一样的三种方法。（提示：考察三公司投资数分别为25，100，14；席位总数为 8 的 分配问题。Q 值法 结果是：1，6，1；rmax 最小法 结果是：2，5，1；DHondt 法 结果是：1，7，0。）,你能提出第四种解决增席问题的方法吗？,2.模型假设的逐步完善与修改,实例 电饭锅销售量预测问题：根据某些统计数据寻求销售量 x 随时间 t 变化的曲线 x=x（t）,从而给决策部门提供 销售预测信息，以便在最佳时间点 上推出新一代的产品。,假设：新产品面世一段时间内，任何时刻销售量关于时间的 增长率 是一常

12、数 r。,建模：记 x（t）为销售量，t 为时间。在某时刻起的某段时间间隔 内，由假设可得：,销售量 x 的 增长量 为 x（t+t）-x（t）=x（t）；,单位时间的增长量为 单位时间的增长量为,这段时间间隔内平均增长率为,t 时刻的（瞬时）增长率为,由假设得模型：.,这里 x（0）=x0 为面世时的销售基数（可认为是为作广告的赠送 品数目）。,求解：x(t)=x0ert.,分析：将 t 离散化:t=1,2,3,4,.,记 er=q 1,则 x=x0 qn(n=1.2,3,).说明该模型曲线是一条几何增长曲线.在新产品面世初期,模型经检验有效.但持续一段时间后,显见不再有合理性.如销售量不能

13、无限制地增加，市场应有一个饱和度。如何修改模型使得销售中后期情况也能在模型里得到反映？,检视建模过程可以看出，应该修改假设的不合理处：当销售量增 加到一定量后，增长率不应该为常数，而应该逐渐减少。,假设的完善修改：假定任何时刻销售量对时间的增长率 r 是销售量 x(t)的递 减函数 r=r(x)。,这里 r0 为当x=0 的增长率（常数），称为固有增长率。k为待定常数。如设销售量的最大极限数为 xm（常数），则当 x=xm 时，r(xm)=0.由此，,这样，假设的数学表示式可写为：,再建模：,再求解：,为简单计，设增长率 r(x)是 x(t)的 线性减函数：r(x)=r0-kx,销售量 x(t

14、)随时间 t 变化的曲线,销售速度 x(t)随时间 t 变化的曲线,再分析：,由上面两图可知,(1)当 时,;,(2)当 t t*时,销售速度 x(t)不断递减;当 t=t*时,此时 x(t*)=xm/2,销售速度 x(t)达到最大值.,这个模型，可以适用于许多实际应用问题，数学上称它为 Logistic 模型。,3.模型假设的公理性,实例 多人合作所得合作效益的合理分配问题,问题：沿江有三个城市，相距分别为20公里和38公里。现在三个城市须建立污水处理厂，可各自单独建立，也可联合建立。为了讨论问题方便，规定只能将污水由上游送至下游。假定建厂费c1与管道费c2分别有经验核算公式:c1=73Q0

15、.712（千元），c2=0.66 Q0.51L（千元）.其中Q（吨/秒）为污水排放速度；L（公里）为管道长。已知三城镇污水量为Q1=吨/秒，Q2=吨/秒，Q3=吨/秒，L的数值如图所示。试从节约总投资的角度为三城镇制定污水处理方案。如果联合建厂，各城镇如何分担费用?,河流,20km 38km,城 2的意见是:同意城3的建厂费分摊意见,但城 2 至城 3 的管道费 应按城 1 和城 2 的污水排放量比例 5:3 分摊,城 1至城 2 的管道费 应由城 1 单独承担.,城 1提不出什麽反对意见,但仔细算了一下,按此方案,自己要承担,建厂费 73(5+3+5)0.7125/13=174.2;,城 1

16、 至城 2 管道费 0.6650.5120=30;,城 2 至城 3 管道费 0.66(5+3)0.51385/8=42.55;,总计 需支出 174.2+30+42.55=246.7.,这个费用要大于自己单独建厂费用:7350.712=230.,管道费 应由城 1 和城 2 分摊(城3由于没有使用管道,不应分摊管道费);,城 3的意见是:建厂费 按各城污水排放量的比例 5:3:5 分摊,为了把解决问题的 原理 说清,不妨先看一个提法简单一些 的问题.,问题：甲乙丙三人经商。在单干时，每人各获利1元。甲乙合作，可获利7元；甲丙合作，可获利5元；乙丙合作，可获利4元。当甲 乙丙三人合作时，则可获

17、利10元。此时该如何 合理分配 这10元 钱？,因此,这样的合作对自己是不利的,无法参加合作.这说明,上述 的费用分摊方案 是不合理的.问题是它 不合理在何处?什麽样的方案才是最合理的?,尽管这个问题提法简单,但也不是容易解决的.如果有人按常规思路来求解,设 x1,x2,x3 分别是三人分别应分得的红利,得到:,x1,x2,x3 1;x1+x2 7;x1+x3 5;x2+x3 4.,x1+x2+x3=10,这个不等式的解不止一个,例如:(5,3,2);(4,3,3);(4.3,5,2.5)等等.,如果把原有问题中的两两合作获利条件 7,5,4 元改为 8,6,7 元,得到:,x1,x2,x3

18、1;x1+x2 8;x1+x3 6;x2+x3 7.,x1+x2+x3=10,则连一个解也没有了.因此,显然这麽考虑问题是解决不了该问题的.,这类问题称为 n 人合作对策(Cooperative n-person game).1953年，通过合理的建模，给出了解决该问题的一种 方法。,这个方法的基本精神是按照纯贡献来进行分配，其根本点是计算出每个人所参加的各种合作方案中贡献的加权平均值，其中加权平均系数称为 Shapley 值。,为了建模方便，先用数学符号把问题数学形式化。,记 I=1，2，3，其中 1，2，3 分别为甲，乙，丙的数字代 码，I 的各个子集合（含 I 本身）代表各种合作方式，,

19、最后记三维向量（v）=（1（v）,2（v）,3（v）,其中i（v）表示数码 i 的代表者在三人共同合作总获利中应分 得的利益数.这个向量就是我们问题的所要求的答案。,例如 v(1，2)=7,即甲乙合作，获利7元；v(1，3)=5，即甲丙合作，获利5元等等。,再记定义在 I 的全体子集上的函数（称为集合的特征函数）为 v(),它表示相应合作方式下的获利数值。,例如，1，2 表示甲和乙共同合作方式，2，3 表示乙和丙 共同合作方式，I=1，2，3 表示三人共同合作方式等等。,假设：Shapley 认为“分配合理”的假定是:,(1)每人的分配数与它被赋予的记号数无关（对称性）；,(2)若成员对于每一

20、个它所参与的合作实际上都没有作出贡献，则它不应该在全体成员合作总获利中分得任何利益（有效性）；,(3)各成员在全体合作效益中获得的分配数之和应等于合作总效益数(总和性)；,(4)各成员同时在进行另一项合作时，每人的总分配数应是这两项合作的分配数之和（可加性）。,建模与求解：Shapley 根据这四条假设，从逻辑上证明了（v）是唯一有解的，这个解的模型是：,其中 Si 是包含 i 的所有子集的集合，s 是 Si 中的任意元素（含 i 的子集），,是集合 s 中的元素个数，而加权系数,结合具体例子来说，三人合作问题应按如下分配利益：,对甲而言，1（v）的计算法为：,对乙而言，2（v）的计算法为：,

21、对丙而言，3（v）的计算法为：,可以看到 4+3.5+2.5=10，正好等于三人合作所得的总获利数。,这个例子中，为建立数学模型而提出的假设是一种科学的、形成公理系统的假设。,现在再回到实例上来。规定集合的特征函数为：对应于合作方案的节资（获利）数。为了算出节资数，先用经验公式算出各种合作下的投资数：,d1=73Q0.712=7350.712=230,d2=7330.712=160,d 3=7350.712=230,d 1,2=73(5+3)0.712+0.66 Q0.51L=73(5+3)0.712+0.665 0.5120=350,d 2,3=73(3+5)0.712+0.663 0.51

22、38=365,d 1,3=73(5+5)0.712+0.665 0.51(20+38)=463,d 1,2,3=73(5+3+5)0.712+0.665 0.5120+0.66(5+3)0.5138=556.,当 n=4 时,1/4 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/4；当 n=5 时,1/5 1/20 1/20 1/20 1/20 1/30 1/30 1/30 1/30 1/30 1/30 1/20 1/20 1/20 1/20 1/5。,一般地，加权平均系数 或 Shapley 值 根据人数算得的结果是：当 n=3 时,1/3 1/6 1/6 1/3；,由此各

23、种合作组合下的节资数分别为：,v(1)=0,v(2)=0,v(3)=0,v(1,2)=d 1+d 2-d 1,2=230+160-350=40,v(1,3)=d 1+d 3-d 1,3=230+230-463 0,节资不为负,规定 v(1,3)=0，v(2,3)=d 2+d 3 d 2,3=160+230-365=25,v(1,2,3)=d 1+d 2+d 3-d 1,2,3=230+160+230-556=64.,现在问题就可转换为：（1）这个节资数 64 如何分配？,（2）总的合作投资数 556 如何分摊？,对城1而言，节资数 1（v）的计算法为：,对城 2 而言，节资数 2（v）的计算法

24、为：,对城 3 而言，节资数 3（v）的计算法为：,(注意：19.7+32.2+12.2=64 千元!),由此，城 1 应承担：230 19.6=210.4 千元;城 2 应承担：160 32.2=127.8 千元；城 3 应承担：230 12.2=217.8 千元；,最后可以验算得：210.4+127.8+217.8=556 千元。这个分配方案可以说是“合情合理，皆大欢喜”了。,4.模型假设的无悖性,实例 物价指数确定问题,物价指数是经济问题中的重要指标,如何评价已经存在的物价指数?根据客观经济规律人们应要求物价指数满足那些性质?能否找到满足这些性质的物价指数?,价格为 p,则可以用,如果参

25、与确定物价指数有两种商品,原来的价格与现在的价格分 别为 p01,p1 和 p02,p2,则可用,作为价格指数来衡量价格的变动.,作为价格指数来衡量价格的变动.,对于一种商品,设原来的价格为 p0,现在的,这种取法是有缺陷的，因为它将商品同等对待.如考虑大米和 钢琴的两种情况:,p01=1元,p02=5000 元 p1=2元,p2=6000元,I1=3.2;,(2)p01=1元,p02=5000元 p1=1.2元,p2=20000 元,I2=5.2.,尽管有 I1 I2,但情况(2)不能认为是物价飞涨大于情况(1)的局面.,改进方法:对各种不同的商品单项指数进行 加权平均.权重系数 常常可以用

26、该商品的销售量替代.目前,经济学家就是在这种框架 下提出了多种不同的方案.,选出与人民生活密切相关的代表性商品 n 种.,设它们在基准年(基年)价格分别为:p01,p02,p03,p0n;并记基年价格向量 为:P0=(p01,p02,p03,p0n);它们在考察年(现年)价格分别为:p1,p2,p3,pn;并记 现年价格向量 为:P=(p1,p2,p3,pn);基年权重为:q01,q02,q03,q0n;基年权重向量 为:Q0=(q01,q02,q03,q0n);现年权重为:q1,q2,q3,qn;现年权重向量 为:Q=(q1,q2,q3,qn).,物价指数 I 应是 P,Q,P0,Q0 的函

27、数:I=I(P,Q,P0,Q0).,常见的物价指数 I(P,Q,P0,Q0)具体的函数形式有以下几种规定:,现年权重法,表示 向量内积,下同;,(1874 年 Paasche 所提出),基年权重法,基年现年权重并用法,固定权重法,其中 W=(w1,w2,wn)为固定的权向量;,即如记 P=(p1,p2,p3,pn)，Q0=(q01,q02,q03,q0n);,规范基年权向量幂平均法;,以上种种 物价指数 的规定,那个更为 合理 些?,规范现年权向量幂平均法,几何平均法;,幂平均法,提出如下对 合理性 的假设:,数学表示形式:,（2）权重不变性:价格不变,权重系数改变时,物价指数不变;,（4）物

28、价指数中庸型:数学表示形式:,（5）对货币的独立性:,（6）对计量单位的独立性:,(3)对价格的齐次性:,数学表示形式:,(1)对价格的单调性:一种商品上涨,其他不涨,物价指数应上升;,数学表示形式:,数学表示形式:,数学表示形式:,（7）对基年的独立性:数学表示形式:,（8）不因某产品淘汰而失去物价指数的意义;数学表示形式:.,现在,用以上合理性的假设标准来检验上面提出的八个 物价指数模型.,其中,表示某个基年的价格向量与商品销售向量；,表示另一个基年的价格向量与商品销售向量；,表示某两个现年的价格向量与商品销售向量；,上面等式表明：某两个现年的物价指数之比与不同基年的选取无关,（i）I1,

29、I 2,I5 不满足假设(7)：,现仅考虑两种商品情况，并以 I 1 为例进行说明：,如果 I1 满足假设(7)，就有,记,表示某个基年的价格向量与商品销售向量；,表示另一个基年的价格向量与商品销售向量；,表示某两个现年的价格向量与商品销售向量；,也就是：某两个现年的物价指数之比与基年的选取无关。,也就是 I1 满足假设(7)时成立：,等价于成立,等式 表示两个不同商品在两个不同现年的价格增长率 是严格相等的；,这个论断一般是不成立的；,等式 表示两个不同商品在两个不同基年的销量增长率 是严格相等的；,这个论断一般也是不成立的；,I1 满足假设(7)也就不成立，即 I1 不满足假设(7)！,既

30、然 是不成立的，那么与之等价的命题,同样可以验证：(ii)I6,I7,I8 不满足假设(8)：,(iii)I3 不满足假设(2)：,(iv)I4 不满足假设(6)：,由此得到结论:物价指数模型 I1 至 I8 均为不合理的模型,均不能采用!,那么，有没有物价指数模型的新提法,它满足所有假设(1)(8)?,首先,我们可以在逻辑上证明:假设(1),(2),(3)能推出假设(4),假设(2),(3),(7)能推出假设(5).或者说,假设(1)-(8)可以精炼成:假设(1),(2),(3),(6),(7),(8).(假设不能有废话,这是提出合理建模假设的基本原则),问题变成:有没有物价指数模型的新提法

31、,它满足假设(1),(2),(3),(6),(7),(8)?,Eichhorn 在 1976 年终于解决了这一问题.但是,他的答案是惊人的!他严格证明 了不存在任何物价指数模型函数:I=I(P,Q,P0,Q0)同时满足假设(2),(3),(6),(7)和(8).也就是说,假设(2),(3),(6),(7)和(8)逻辑上有互悖性!这是 建模假设提法的 大忌.,经济学上不能没有物价指数模型,我们必须剔除某条所谓“合理”的假设.也可以倒过来做,从现有已经用了一百多年的 常用物价 指数模型 出发,看一下应 剔除、或者 近似满足 哪一条假设为好.,I4 与 I6 需要 w 和,应用不便,先舍去.,I3

32、不符合假设(2),但假设(2)是非常基本的假设,不能剔除,故舍去 I3.,I7,I8 不符合假设(6),(7),(8),计算量也大,不实用,也舍去.,I5 可由 I1,I2 得到,是否舍去,取决于 I1 和 I2 是否要.,I1 和 I2 仅不符合假设(7),在一般情况下,假设(7)是能够近似成立的,因为由于市场调节机制,n 种商品的价格从某一年到另一年的 n 种涨跌幅度，几乎是相同的,由此就可以推出：假设(7)几乎 是(近似)成立的（推导可参见上面 I1 不满足假设(7)的说明）.,进一步可以思考的问题:,(1)能否定义出新的物价指数模型 I9?,(2)若 Q 和 Q0 不用销售量定义之,则如何构造?,由此,可以剔除假设(7),或者说 要求假设(7)近似成立,我们就能 得到符合所有假设的理想物价指数模型 I1 和 I2,或者采用 模型 I5 来综合平衡 I1 和 I2.,当然,现在这样提建模假设之后,物价指数模型的解还 不止 上面 提到的物价指数模型 I1,I2 和 I5,理论上尚无完整的结果.,