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1、第 3 章 静电场分析,以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场、恒定电场的特性和求解方法。,静电场的基本方程(真空中和媒质中）静电场的辅助函数电位函数静电场的边界条件恒定电场分析静电场的能量方程,主要内容：,静电场：恒定不变的电场。即：,物理意义：穿过任意闭合面S的电通量只与闭合面内所围电荷量有关。,式中：S为高斯面，是一闭合曲面，Q为高斯面所围的电荷总量。,一、真空中静电场的高斯 散度定理,第一节 真空中静电场的基本方程,静电场分析的基本量：,静电场高斯定理微分形式,说明：电场散度仅与电荷分布相关，其大小,若电荷是以体密度 分布，则：,二、真空中静电场的旋度 环路定律,物理意义：在静电场
2、中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电力做功为零静电场为保守场。（电力线不构成闭合回路）,斯托克斯公式,小结：真空中静电场的基本方程,微分形式,积分形式,三、利用高斯定理求解静电场,关键：高斯面的选择。,高斯面的选择原则：,用高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分布的电荷系统。,1）高斯面为闭合面；2）场点位于高斯面上；3）在整个或分段高斯面上，的幅值为常值（包括为0）。方向平行或垂直于高斯面,四、例题,例题一,例题二,例题三,例题四,例题一,求电荷密度为 的无限大面电荷在空间中产生的电场。,解：取如图所示高斯面。,由高斯定律，有,分析：电场方向垂直表面。在平行电荷面的面上大小相等。,
3、S,例题二,求无限长线电荷 在真空中产生的电场。,解：取如图所示高斯面。,由高斯定律，有,分析：电场方向垂直圆柱面。电场大小只与r有关。,解：1)取如图所示高斯面。,在球外区域：ra,分析：电场方向垂直于球面。电场大小只与r有关。,例题三,半径为a的球形带电体，电荷总量Q均匀分布在球体内。,求：（1）（2）（3）,在球内区域：ra,2）解为球坐标系下的表达形式。,3）,例题四：电荷按体密度 分布于一个半径为 a的球形区域内，其中 为常数。试计算球内外的电场强度,分析：电场方向垂直球面。电场大小只与r有关。,解：1)取如图所示高斯面。,在球外区域：ra,在球内区域：ra,讨论：1）2）面电荷密度
4、为 的均匀无限大带电平面 3）无限长带电圆柱面或体,第二节 电位函数,一、电位函数与电位差,1、电位函数,说明：,1)电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；,2)“”表示电场指向电位减小最快的方向；,3)在直角坐标系中,引入电位函数：,其中：分别表示 在X、Y、Z 三个方向上的投影,电场空间两点A、B间的电位差为：,在任意方向 上的投影：,电场空间两点A、B间的电压就是两点间的电位差：,须选定电位参考点，空间中各点电位方可唯一确定。,若任意选取A点 作为电位参考点，设,则：点B（x、y、z）的电位为：,三、电位的求解,1、点电荷的电位,Q点为电位参考点。,若电位参考点在无穷远处，即,得：,
5、点电荷在空间中产生的电位,2、无限长线电荷的电位,电位参考点不能位于无穷远点。,取r=1柱面为电位参考面，即,得：,3、分布电荷体系在空间中产生的电位,体电荷：,面电荷：,线电荷：,式中：,若参考点在无穷远处，c=0。,引入电位函数的意义：简化电场的求解！,四、例题,例题一,例题二,例题一 求电偶极子 在空间中产生的电位和电场。,分析：电偶极子定义 先求解空间电位，再求电场,解：取无限远处为电位参考点。,例题二 求半径为a的均匀圆面电荷在其轴线上产生的电位和电场强度。,解：在面电荷上取一面元 如图所示。,例题三：证明导体表面的电荷面密度 与导体外的电位函数有如下关系：,解：电荷分布于导体表面，
6、导体内 是一个等位体,在导体表面作一个柱形闭合面，如图所示：,第三节 泊松方程 拉普拉斯方程,一、拉普拉斯运算,1、标量场的拉普拉斯运算,对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：,式中：,称为拉普拉斯算符。,在直角坐标系中：,柱面坐标系和球面坐标系下的拉普拉斯运算见附录。,2、矢量场的拉普拉斯运算,在直角坐标系中：,二、静电场中电位方程的建立,即：,在无源区域,三、电位方程的应用,可用于求解静电场的边值问题。,例：半径为a的带电导体球，已知球体电位为U，求空间电位分布及电场强度分布。,解法一：导体球是等势体。,时：,时：,解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈球对称。,设导体球带电总量为
7、Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场强度为：,小结：求空间电场分布的方法,在实际应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值问题的求解。,第四节 介质的极化 电位移矢量,一、极化与极化强度矢量,1、极化,2、极化强度矢量,用极化强度矢量 表示电介质被极化的程度。,式中：,表示i个分子极矩,N表示分子密度,物理意义：表示单位体积内电偶极矩矢量和。,说明：,在真空中一点产生的电位为,闭合面的单位外法线矢量,二、极化电荷（束缚电荷）,比较电位函数的定义式，可得极化电荷的面密度、体密度：,说明：若媒质均匀极化（与空间位置无关），则介质无体极化电荷。,均匀媒质被极化后，一般不存在体极化电荷。,2)由电
8、荷守恒定律，极化电荷总量为零；,四、例题,例题一,例题二,例题三,驻极体：外场消失后，仍保持极化状态的电介质体。,解：在驻极体内：,驻极体在表面上：,解：由定义，知：,第五节 介质中的高斯定律 边界条件,一、介质静电场基本方程,真空中的高斯定律：,在介电常数为 的介质中，,为束缚电荷,定义电位移矢量：,则：,讨论：1)q为自由电荷电量，不包括极化电荷。,2）静电场中，任一闭合面穿出的电通量只与闭合面内的自由电荷有关,讨论：1）,式中：,称为电介质的介电常数。,称为电介质相对介电常数。,在介质中，静电场仍然为保守场,介质中的环路定律,例题二 半径为a的球形电介质体，其相对介电常数若在球心处存在一
9、点电荷Q，求极化电荷分布。,解：由高斯定律，可以求得,在媒质内：,体极化电荷分布:,面极化电荷分布:,在球心点电荷处：,二、介质的电位方程,在均匀、各向同性、线性媒质中（为常数）,思考：非均匀媒质中的电位方程是什么样的？,媒质,线性媒质：随 线性变化的媒质。,均匀媒质：均匀分布。与空间坐标无关。,各向同性媒质：介质特性与外加电场 的方向无关,理想媒质：媒质的导电率为0，即。,三、静电场的边界条件,介质特性突变,边界条件：揭示介质两边场之间的联系。,1、的边界条件,说明：1)为分界面上自由电荷 面密度，不包括极化电荷。,2）若媒质为理想媒质，则（即分界面上无自由电荷）,因为：,由,当 时,2、的
10、边界条件,结论：分界面上 切向连续。,或写为：,若用电位表示，则：,讨论：1）导体分界面的边界条件,导体内：,2）理想介质分界面的边界条件（）,第六节 一维泊松方程（拉普拉斯方程）的解,例题一：板面积为S，相距为d 的平行板电容器中放入介电常数为 的两种均匀介质，如图所示。若两极板上分别带有电荷。忽略边缘效应。,求：1）电容器中的 2）电容器的电容 3）束缚电荷的分布,解：因为电容器中有两种不同的介质，分成两个区域分别求解,忽略边缘效应，两极板可视为无穷大的带电平面，电荷分布也是均匀的，,仅是x的函数,取 时为电位参考点,例：半径为a的均匀带电球体，电量为Q，求球内外电位分布和电场强度。,解法
11、一：设球内外电位分别为,取无穷远处为电位参考点，即,解法二：电荷均匀分布在球体上，可由高斯定理求得球内外的电场强度，,例题二同轴线内导体半径为a，外导体半径为b。内外导体间充满介电常数分别为 和 的两种理想介质，分界面半径为c。已知外导体接地，内导体电压为U。求:(1)导体间的 和 分布；(2)同轴线单位长度的电容,（2）同轴线单位长度带电量为，故单位长度电容为,解法二：场只与半径 有关,由边界条件：,例题三球形电容器内导体半径为a，外球壳半径为b。其间充满介电常数为 和 的两种均匀媒质。设内导体带电荷为q，外球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。,分析：电场平行于介质分界面，由边界条件可知，介
12、质两边 相等。,解：令电场强度为，由高斯定律,第六节 恒定电场,恒定电场：恒定电流(运动电荷)产生的电场。,一、恒定电场基本方程,恒定电场的基本量：,由电流守恒定律：,恒定电场仍然是保守场，因此,小结：恒定电场基本方程为,式中：为导电媒质导电率。,讨论：1）,在理想导体内，恒定电场为0；,恒定电场可以存在于非理想导体内。,2)在导电媒质内，恒定电场 和 的方向相同,二、导电媒质中能量损耗关系,导电媒质单位体积内的功率损耗为：,导电媒质焦耳功率损耗密度。,三、恒定电场的拉普拉斯方程,三、恒定电场边界条件,用类比关系推导恒定电场边界条件。,3、电位边界条件,1、的边界条件,2、的边界条件,如果媒质
13、是均匀、各向同性的,讨论：,若,则。,即：在理想导体表面上，和 都垂直于边界面。,小结：静电场和恒定电场性质比较：,相同点：场性质相同，均为保守场；场均不随时间改变；均不能存在于理想导体内部；,不同点：源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场 的源为运动电荷。存在区域不同。静电场只能存在于导体外，恒定电场可以存在于非理想导体内。,五、例题,例：同轴线中填充两种导电媒质，结构如图所示。两种导电媒质的介电常数分别为 和，导电率分别为 和,设同轴线内外导体电压为U。求：(1)导体间的，；(2)分界面上自由电荷分布。,解：这是一个恒定电场边值问题。不能直接应用高斯定理求解。,设单位长度内从内导体流向外导
14、体电流为I。,则：,由边界条件，边界两边电流连续。,由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为：,2）由边界条件：,在 面上：,在 面上：,在 面上：,第七节 电容和部分电容,孤立导体的电位与其所带的电量成正比。,一、电容和电容器,电容定义：孤立导体所带电荷量与其电位之比。即,电容器电容：电容器由两个导体构成，若两导体间电位差为U，导体带电量分别为Q和-Q，则定义电容器电容为：,二、部分电容,若电容器由多个导体构成。则导体之间、导体与地之间均存在电容，引入部分电容的概念,由电容定义：,式中：,指导体与地之间形成电容，称为导体自有部分电容,指导体之间形成的电容，称为导体互有部分电容,说明：,三、
15、例题,例题一,例题二,例题一：平行双线，导线半径为a，导线轴线距离为D 求：平行双线单位长度的电容。（aD),解：设导线单位长度带电分别为 和，则易于求得在P点处，,导线间电位差为：,例题二：计算同轴线内外导体间单位长度电容。,解：设同轴线内外导体单位长度带电量分别为 和，则内外导体间电场分布为：,则内外导体间电位差为：,内外导体间电容为：,第八节 电场能量,一、空间总电场能量,设空间电荷分布为，在空间中产生电位为。,空间中总电场能量为：,说明：1)此公式只适用于静电场能量求解；,2)公式中 不表示电场能量密度；,3)为空间中自由电荷分布；,4)积分范围 为整个空间，但可退化到电荷 分布区域。
16、,若电荷是面分布，则：,特殊地，若电量为q的电荷分布在导体上，导体电位为，则空间中总静电场能量为：,对带电多导体系统,二、电场能量密度,为整个空间，即S为包围整个空间的闭合面，,故：空间电场能量为,式中：为整个电场空间；,三、例题,例题一,第三章小结,由边界条件知在边界两边 连续。,解：设同轴线内导体单位长度带电量为Q。,例题一 已知同轴线内外导体半径分别为a,b，导体间部分填充介质，介质介电常数为，如图所示。已知内外导体间电压为U。,求：导体间单位长度内的电场能量。,或,知识延展：对电容器,静电场的基本方程(真空中和媒质中）静电场的辅助函数电位函数静电场的边界条件恒定电场分析静电场的能量方程
17、,主要内容：,第三章小结,第三章主要公式,一、静电场基本方程,二、静电位函数,三、静电场中的电介质,四、静电场的边界条件,五、恒定电场,静电场和恒定电场性质比较。,六、电容和部分电容,部分电容的概念。,七、静电场能量,八、例题,例题一,例题二,例题一 已知同轴线内外导体半径分别为a,b，导体间填充介质，介质介电常数为，导电率为。已知内外导体间电压为U。求：内外导体间的 1）；2）；3）；4）；5）；6）；,分析：为恒定电场问题。电荷只存在于导体表面，故可用静电场高斯定理求解。,解法一：应用高斯定理求解。,设内导体单位长度电量为Q。则,解法二：间接求解法,由于内外导体间不存在电荷分布，电位方程为
18、,解法三：恒定电场方法求解,令由内导体流向外导体单位长度总电流强度为I，则,例题二 导体球壳，内径为b，外径为c，球壳球心为半径为a导体球，导体球带电量Q。中间充满两种介质，介电系数分别为1和2，介质分界面如图所示。求：（1）空间场分布E(r)；（2）空间电位分布；（3）极化电荷分布；（4）系统电场能量。,解：由边界条件知，连续。,（1）ra，该区域为导体空间，故：=0；,arb，由高斯定理有,brc，该区域为导体空间，故：=0；,rc，,（2）求电位分布。,rc，,brc，为导体区域，等势体，电位等于外表面电位,arb，,ra,（3）媒质为均匀媒质，其内部不存在极化电荷,r=a面上：,r=b面上：,（4）总电场能量为,电偶极子：,电偶极子：由两个相距很近的带等量异号电量的点电荷所组成的电荷系统。,电偶极矩：表示电偶极子。,式中：表示电荷电量大小；表示从负电荷到正电荷的矢量。,第三章作业,静电场基本方程 3.3 3.4 3.5,电位函数 3.9 3.10 3.12,拉普拉斯方程 3.14,电介质的极化 3.17 3.21,介质中的静电场 3.22,恒定电场 3.27,电容与部分电容 3.23 3.24,电场能量 3.32 3.33,
