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1、三角形的内切圆及其应用,已知：ABC（如图）.求作：和ABC的各边都相切的圆.,作法：1.作ABC、ACB的平分线BM和CN，交点为I.,I,D,例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切,分析,2.过点I作IDBC，垂足为点D.,3.以I为圆心，ID为半径作I.,I就是所求的圆.,D,A,E,B,C,F,O,1.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.,2.和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形.,读句画图：,作直线m与O相切于点D，作直线n与O相切于点E，直线m和直线n相交于点A;,以点O为圆心，1
2、cm为半径画O;,作直线l与圆O相切于点F，直线l分别与直线m、直线n相交于点B、C.,三角形内心的性质：,1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；2.三角形的内心在三角形的角平分线上.,1.三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等；2.三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上.,三角形外心的性质：,三角形三边中垂线的交点,1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部,三角形三条角平分线的交点,1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB3.内心在三角形内部,o,A,B,C,理由：点O是ABC的内心，,1 3=（ABC+ACB）,1=ABC，3=ACB.,=180（
3、90 A）,=（180 A）,=90+A.,=90 A.,答：BOC=90+A.,（4）试探索：A与BOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由.,在OBC中，,BOC=180（1 3）,B,D,E,F,O,C,A,如图，ABC的内切圆的半径为r,ABC的周长为l,求ABC的面积S.,解：设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，,则ODAB，OEBC，OFAC.,SABCSAOBSBOC SAOC,ABOD BCOE ACOF,lr,设ABC的三边为a、b、c，面积为S，则ABC的内切圆的半径 r,结论,三角形的内切圆的有关计算,A,B,C,E,D,F,O
4、,如图，RtABC中，C90,BCa,ACb,ABc,O为RtABC的内切圆.求：RtABC的内切圆的半径 r.,设AD=x,BE=y,CE r,O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。,结论,o,外切圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。外切圆的半径：交点到三角形任意一个定点的距离。,三角形外接圆,三角形内切圆,内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。,A,A,B,B,C,C,例1 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于 点D
5、、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.,解:,设AF=x(cm),BD=y(cm),CEz(cm),AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).,O与ABC的三边都相切,AFAE,BDBF,CECD,明确,1.一个三角形有且只有一个内切圆；,2.一个圆有无数个外切三角形；,3.三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；,4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。,分析 试说明圆的外切四边形的两组对边的和相等,.,A,B,C,a,b,c,r,r=,a+b-c,2,例 直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm.则其内切圆的半径为_.,r,O
6、,已知：如图，在RtABC中，C=90，边BC、AC、AB的长分别为a、b、c，求求其内切圆O的半径长.,2,E,D,图（1）,图（2）,说出下列图形中圆与四边形的名称：,四边形ABCD叫做O的外切四边形.,四边形ABCD叫做O的内接四边形.,O,B,A,探讨3：设ABC是直角三角形，C=90，它 的内切圆的半径为r，ABC 的各边长分别为a、b、c，试探讨r与a、b、c的关系.,C,c,b,a,F,E,D,r,结论：,填空:,1.三角形的内切圆能作_个,圆的外切三角形有_ 个,三角形的内心在圆的_.2.如图,O是ABC的内心,则（1）OA平分_,OB平分_,OC平分_,.（2）若BAC=10
7、0,则BOC=_.,1,无数,内部,BAC,140,ABC,ACB,2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_.,22cm,例3 如图，朱家镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，ACBC，BC=30米，AC=40米。请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？,雕塑中心M到道路三边的距离相等点M是ABC的内心，连接AM、BM、CM.设M的半径为r米，M分别切AC、BC、AB于点D、E、F，则MDAC，ME BC，MF AB，则 MD=ME=MF=r，在Rt
8、ABC 中，AC=40，BC=30，AB=50.,ABC的面积为 ACBC=4030=600，又 ABC的面积为（ACMD+BC ME+AB MF）=20 r+15 r+25 r=60 r.60 r=600，r=10.答：镇标雕塑中心离道路三边的距离为10米.,解：,例4 如图,E是圆内两弦AB和CD的交点，直线EF/CB,交AD的延长线于点F，FG切圆于点G.求证：(1)DFEEFA;(2)EF=FG.,证明：(1)EF/CB,DEF=DCB.,DCB和DAB都是 上的圆周角.,DAB=DCB=DEF.,DFE=EFA（公共角）,DFEEFA.,(2)由(1)知 DFEEFA，,EF2=FA
9、FD.,又FG是圆的切线，,FG2=FAFD.,EF2=FG2,即FG=EF.,例5如图，两圆相交于A、B两点，P为两圆公共弦AB上任意一点，从P引两圆的切线PC、PD，求证：PC=PD.,PC2=PAPB,PD2=PAPB.,证明：由切割线定理可得：,PC2=PD2.即PC=PD,例6如图，AB是O的直径，过A、B引两条弦AD和BE，相交于点C求证：ACAD+BCBE=AB2,证明：连接AC、AD，过C作CFAB,与AB交于F,AB是O的直径，AEB=ADB=900.,又 AFC=900,A、F、C、E四点共圆.,BCBE=BFBA.(1),同理可证F、B、D、C四点共圆.,ACAD=AFA
10、B.(2),(1)+(2)可得 ACAD+BCBE=AB(AF+BF)=AB2.,练习1.如图：过点A作O的两条割线,分别交O于B、C和D、E.已知AD=4,DE=2,CE=5,AB=BC.求AB、BD.,练习2.如图：PA切O于A，PBC是O的割线.已知O的半径为8，PB=4，PC=9.求PA、PO.,1.本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法.2.通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念.3.学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与“外心”的区别，4.利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题.,课堂小结：,
