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1、第三章 线性方程组,线性方程组的理论是线性代数的基本内容之一前面的定理中(克菜姆规则)仅对线性方程组的一种重要情形给出了结沦本章将对一般线性方程组有解的条件求解的方法以及解之间的关系进行讨论 由于线性方程组与矩阵、n维向量组之间的联系(前面已经讨论)，我们从讨论n维(m维)向量之间的线性关系开始,第一节 向量组与矩阵的秩,1、n 维向量的概念,1.定义1:,行向量,列向量,第i个分量,一、向量组的秩,向量组的线性相关性,一、线性相关性,1.定义1:,2.定义2:,0,(1)当向量组只含一个向量时,若该向量是零向量,则它线 性相关;若该向量是非零向量,则它线性无关.,(2)两个向量线性相关的充要
2、条件是其对应分量成比例.,(3)任一含有零向量的向量组线性相关.,3.讨论向量组的相关性：,证：,0,0,矛盾,O,所以表示式惟一。,下面我们来讨论行列式与线性相关的关系：定理：,定义：若向量组的一个子组线性无关，但将向量组中任何一个向量添到这个线性无关子组中去，得到的都是线性相关的子组，则称该线性无关子组为向最组的极大线性无关组,定理：对于一个给定的向量组，它的一切极大线性无关组所含向量的个数相同,定义：一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩 仅含零向量的向量组，规定它的秩等于零 推论 秩为 r 的向量组中，任何 r十1 个向量必线性相关。,二、矩阵的秩,初等变换求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,例4,解,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,
