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1、第三节 逆矩阵与矩阵的初等变换,则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵.,一、概念的引入,在数的运算中，,当数 时，,有,其中 为 的倒数，,（或称 的逆）；,在矩阵的运算中，,单位阵 相当于数的乘法运算中,的1，,那么，对于矩阵，,如果存在一个矩阵,使得,二、逆矩阵的概念和性质,例 设,说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的.,若设 和 是 的可逆矩阵，,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的,即,例 设,解,设 是 的逆矩阵,则,利用待定系数法,又因为,所以,定理1 矩阵 可逆的充要条件是，且,证明,若 可逆，,按逆矩阵的定义得,证毕,奇异矩阵与非奇异矩阵的定义,推论,证明,逆矩阵的运算性质,证明
2、,证明,例1 求方阵 的逆矩阵.,解,三、逆矩阵的求法,同理可得,故,例3 设,解,于是,设线性方程组,则称此方程组为非,齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,非齐次与齐次线性方程组的概念,一、克拉默法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为,证明：,A X=b,比较等式两端得：,例：用克拉默法则解方程组,解,定义1,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,矩阵的初等变换,定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,初等变换的逆变换仍为初等
3、变换,且变换类型相同,同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”),逆变换,逆变换,逆变换,对n阶单位矩阵E分别施行上述三种初等变换后，所得之矩阵称为初等矩阵相应的三种初等矩阵分别是,（1）,互换E的 i，j 两行(两列)所得之矩阵,（2）,（3）,引理：对矩阵 施行某一初等行（列）变换，其结果等于对A左（右）乘一个相应的m阶（n阶）初等矩阵。,这里把矩阵的初等变换归纳为用某些初等矩阵左乘或右乘该矩阵，这对于简化矩阵乘法运算及研讨矩阵的某些性质都很有用,下面介绍用矩阵的初等行变换求逆矩阵的方法不难证明，若A是一个n阶可逆矩阵，则必可经一系列初等行 变换将A化成单位矩阵。这就相当于用一系列初等矩阵F1,F2,左乘A后得到单位矩阵En。即,定理：可逆矩阵必可表为若干个初等矩阵的乘积,
