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1、2.1.1合情推理-类比推理,类比推理的命题分类,类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理；类比推理由特殊到特殊的推理，借助类比推理可以推测未知、可以发现新结论、可以探索和提供解决问题的思路和方法；因此，类比推理是一种很重要的推理，它在近年各级各类的考试中，也时有出现；本节简介类比推理的命题特点，揭示求解规律，希望对你求解此类问题能有所帮助。,由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.(简称:类比),类比推理的几个特点,1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的
2、事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.,2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.,3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.,类比推理,复习:,练习：平面内,两组对边分别相等的四边形是平行四边形.,空间中,两组对边分别相等的四边形是平行四边形.,平面内,同时垂直于一条直线的两条直线互相平行.,空间中,同时垂直于一条直线的两条直线互相平行.,类比推理所得的结论不一定可靠.,类比得到以下结论，判断其是否正确：,圆的概念和性质,球的概念和性质,与圆心距离相等的两弦相等,与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长,以点(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的
3、方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦,球心与不过球心的截面(圆面)的圆心的连线垂直于截面,与球心距离相等的两截面面积相等,与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大,以点(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2,1.利用圆的性质类比得出球的性质,球的体积,球的表面积,圆的周长,圆的面积,圆有切线,球有切面,若，则,若，则,2.利用平面向量的性质类比得空间向量的性质,3.利用等差数列性质类比等比数列性质,n+m=p+q时,am+an=ap+aq,n+m=p+q时,aman=apa
4、q,任意实数a、b都有等差中项，为,当且仅当a、b同号时才有等比中项，为,成等差数列,成等比数列,下标等差,项等差,下标等差,项等比,【引例1】,推广：,题型1.类比概念 类比某些熟悉的概念，产生的类比推理型试题；在求解时可以借助原概念所涉及的基本方法与基本思路。,例1.等和数列的定义是：若数列an从第二项起，以后每一项与前一项的和都是同一常数，则此数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和；如果数列an是等和数列，且a1=1，a2=2，写出数列an的一个通项公式为；,分析：由定义知公和为3，且,那么,题型2.类比定理 从初中到高中我们学过的定理很多，这些定理是产生类比型问题的“沃土”。请看
5、：,例2.在平面几何里有勾股定理：“设的两边互相垂直，则。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三侧面两两垂直，则。”,分析：在平面上是线的关系，在空间呢？假若是面的关系，类比一下：直角顶点所对的边的平方是另外两边的平方和，而直角顶点所对的面会有什么关系呢？大胆一点猜测：,事实上，如图作AECD于E,连BE，则BECD,平面图形与空间图形的类比关系如下：,题型3.类比性质 从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，产生的类比推理型问题；求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键。,例3
6、.我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心连线与该弦垂直；那么，若椭圆b2x2+a2y2=a2b2的一条弦中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明。,分析：假若弦的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都存在，由于两线垂直，我们知道斜率之积为1；对于方程，（若a=b，则方程即为圆的方程）由此可以猜测两斜率之积为。,证明：设弦AB的两端点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点为P，则由点差法得：,题型4.类比方法 有一些处理问题的方法，具有类比性，结合这些方法产生的问题，在求解时，要注意知识的迁移。,例4.若点P是正四面体 的面BCD上一点，且P到另三个面的
7、距离分别为h1,h2,h3，该正四面体的高为h，则（）,分析：由点P是正三角形ABC的边BC上一点，且到另两边的距离分别为h1和h2，正三角形ABC的高为h，由面积相等很快可以得到h=h1+h2；于是，类比方法，平面上用面积，空间中用体积，立即可得答案为B,题型5.类比“陷阱”类比推理是一种很好、很重要的推理，为使这种推理更严谨、更完美，有时也会故意设计一些让你“误入歧途”的类比推理型陷阱题。,例5.平面几何中有“一个角的两边分别垂直于另一个角的两边则两角相等或互补”；在立几“当一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时”，两二面角（）A.互补 B.相等 C.互补或相等 D.此
8、两二面角的关系不定,分析：平几中的这个结论有很大的误导性，建立在这个结论的基础上，也许会不知不觉“上当”误选答案（C）；其实，正确答案为，作一个图形就可以发现结论。,（D）,借助类比推理进行命题是命题改革产生的一类新型试题，从前面的例题可以看出，命题的方式很多，可设计的命题点也很多。面对这些试题我们要搞清楚是知识型类比还是方法型类比，不同的类型将有不同的分析与求解思路。,类比推理是难点，防不胜防！,归纳推理和类比推理的共同点,归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.,合情推理,由两类对象具有某些类似特征和
9、其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。,【类比推理】,主要步骤（1）首先，找出两类对象之间 可以确切表述的相似特征；（2）然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；（3）最后，检验这个猜想。,小结:,类比推理是由特殊到特殊的推理,“多考一点想，少考一点算”，以能力立意的数学高考试题不断推出一些思路开阔、情境新颖脱俗的创新题型，,开普勒对类比也情有独钟：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师”正因为如此，以上这些有趣而富有启迪的类比越来越多地受到了命题专家的关注，逐渐成为高考命题的新视角。,以下研练：,1.在
10、平面几何里,有勾股定理:见书例题“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则.,以下研练：,练1、平面与空间中的余弦定理：见书阅读材料,平面：,三角形ABC中，,空间：,四面体A-BCD中，,设二面角B-AC-D，C-AD-B，D-AB-C的大小依次为,图(1),图(2),2：(2005年全国)计算机中常用的十六进位制是逢16进1的计算制，采用数字0-9和字母A-F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；,例如用16进位制表示+1，则（）,E,3：已知三角形的面积为 其中a、b、c 为三角形边长，r 为内 圆的半径。利用类比推理写出四面体 的体积公式。,【练习】1、推测,3.如图，已知O是ABC内任意一点，连接AO、BO、CO，并延长交对边 于A、B、C，则 其证明方法常用面积法。,通过类比推理，可以猜测怎样的结论？,课下整理、总结。,
