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1、2.4 正态分布,高二数学 选修2-3,引入,正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述。,复习,100个产品尺寸的频率分布直方图,25.235,25.295,25.355,25.415,25.475,25.535,产品 尺寸（mm),频率组距,复习,200个产品
2、尺寸的频率分布直方图,25.235,25.295,25.355,25.415,25.475,25.535,产品 尺寸（mm),频率组距,复习,样本容量增大时频率分布直方图,频率组距,产品 尺寸(mm),总体密度曲线,复习,产品 尺寸(mm),总体密度曲线,高尔顿板,11,总体密度曲线,0,Y,X,导入,产品尺寸的总体密度曲线就是或近似地是以下函数的图象：,1、正态曲线的定义：,函数,式中的实数、(0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，称f(x)的图象称为正态曲线,若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b的概率为:,2.正态分布的定义:,如
3、果对于任何实数 ab,随机变量X满足:,则称为X 的正态分布.正态分布由参数、唯一确定.正态分布记作N（，2）.其图象称为正态曲线.,如果随机变量X服从正态分布，则记作 X N（，2）,在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：,在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；,在测量中，测量结果；,在生物学中，同一群体的某一特征；,在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等，水文中的水位；,总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。,正态分布在概率和统计中占有重要地位。,m 的意义,产品 尺寸(mm),总体平均数反映总体随机变量的,平均水平,x3,x4
4、,x=,总体平均数反映总体随机变量的,平均水平,总体标准差反映总体随机变量的,集中与分散的程度,s的意义,正态总体的函数表示式,当=0，=1时,标准正态总体的函数表示式,正态总体的函数表示式,=,例1、下列函数是正态密度函数的是（）A.B.C.D.,B,例2、标准正态总体的函数为（1）证明f(x)是偶函数；（2）求f(x)的最大值；（3）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。,练习：,1、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函数的最大值等于，求该正态分布的概率密度函数的解析式。,3、正态曲线的性质,具有两头低、中间高、左右对称的基本特征,（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.,（2）曲线
5、是单峰的,它关于直线x=对称.,3、正态曲线的性质,（4）曲线与x轴之间的面积为1,（3）曲线在x=处达到峰值(最高点),方差相等、均数不等的正态分布图示,=0.5,=-1,=0,=1,若 固定,随 值的变化而沿x轴平移,故 称为位置参数；,均数相等、方差不等的正态分布图示,=1,=0,若 固定,大时,曲线矮而胖；小时,曲线瘦而高,故称 为形状参数。,(6)当一定时，曲线的形状由确定.越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.,（5）当 x时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.,3、正态曲线的性质,例3、把一
6、个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（）A.曲线b仍然是正态曲线；B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体的期望大2;D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2。,C,正态曲线下的面积规律,X轴与正态曲线所夹面积恒等于1。对称区域面积相等。,S(-,-X),S(X,)S(-,-X),正态曲线下的面积规律,对称区域面积相等。,S(-x1,-x2),-x1-x2 x2 x1,S(x1,x2)=S(-x2,-x1),4、特殊区间的概率:,若XN,则对于
7、任何实数a0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小,落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。,特别地有,我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有4.6，在 以外取值的概率只有0.3。,由于这些概率值很小（一般不超过5），通常称这些情况发生为小概率事件。,例4、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个正态分布，即 N(90,100).（1）试求考试成绩 位于区间(70,110)上的概率是多少？（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？,练习：1、已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（）(90,110 B.(95,125 C.(100,120 D.(105,115,C,2、已知XN(0,1)，则X在区间 内取值的概率等于（）A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.02283、设离散型随机变量XN(0,1),则=,=.4、若XN(5,1),求P(6X7).,D,0.5,0.9544,
