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1、五 均方随机微分方程,在许多科学领域中,存在大量的随机微分方程问题.如:随机干扰下的控制问题 通讯技术中的滤波问题要解决相关的问题,必须研究和求解随机微分方程.,定理 设二阶矩过程,均方连续，a(t)是,普通函数，X0是二阶矩变量，则一阶线性随机微分方程,有解，其解为,注意 一阶线性微分方程（1）的解X(t)仍然是S.P.,利用X(t)的表达式可以得到其数字特征.即,定理 一阶线性微分方程（1）的解的均值函数和相关函数为,也可以解下列普通微分方程得到,对(1)的两边取共轭再同乘Y(t),并求期望得,举例 1.,一阶线性随机微分方程,试求 此微分方程的解,解的均值函数,相关函数以及 一维概率密度
2、函数,解,由公式解为,解,由公式解为,六 正态过程的随机分析,正态过程是一种重要的二阶矩过程.,内容:1.正态随机变量序列(正态过程)的均方极限2.均方可导的正态过程性质3.正态过程的均方不定积分性质,定理1 正态随机变量序列的均方极限仍是正态随机变量.,证明,所以X是正态随机变量,说明 以上定理中,若Xn为一族随机变量也成立.即,定理2 n维正态随机向量序列的均方极限 仍是n维正态随机向量即,证明,因为X(t).tT为一正态过程,则对任意的,所以导数过程是正态过程.,再利用导数过程的数字特征与原过程数字特征的关系得,定理4,分别是均值函数和协方差函数,证明,又因为X(t).ta,b为一正态过程,所以,再利用均方不定积分的数字特征与原过程数字特征的关系得,举例,例 证明,Poisson随机变量序列的均方极限是Poisson随机变量,证明,所以X是Poisson随机变量.,本章作业:2,4,5,6,7,11,13,
