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1、第十讲 均值方差偏好下的投资组合选择,本章主要内容,均值方差分析的基本思想均值方差分析的基本性质均值方差的计算均值方差前沿组合（不存在无风险资产）均值方差前沿组合（存在无风险资产）最优投资组合选择两基金分离定理,一、均值方差分析的基本思想,Markowitz(1952)发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的资产组合选择理论：均值-方差方法。该方法假设参与者的期望效用只与未来财富或者投资组合收益率分布的均值和方差有关，与其他分布特征无关。参与者将选择并持有有效率投资组合，即那些在给定的风险水平下的期望回报最大化的投资组合，或者那些在给定期望回报率水平上的使风险最小化的投资组合。通过对某种资产
2、的期望回报率、回报率的方差和某一资产与其它资产之间回报率的相互关系（用协方差度量）这三类信息的适当分析，辨识出有效投资组合在理论上是可行的。通过求解二次规划，可以算出有效投资组合的集合，计算结果指明各种资产在投资者的投资中所占份额，以便实现投资组合的有效性即对给定的风险使期望回报率最大化，或对于给定的期望回报使风险最小化。,均值方差分析的假设条件,（1）单期投资：是指投资者在期初投资，在期末获得回报。单期模型是对现实的一种近似描述，如对零息债券、欧式期权等的投资。虽然许多问题不是单期模型，但作为一种简化，对单期模型的分析成为我们对多时期模型分析的基础。（2）投资者事先知道资产收益率的概率分布，
3、并且收益率满足正态分布的条件。（3）经济主体都是非饱和的和厌恶风险的，遵循占优原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高的证券；在同一收益率水平下，选择风险较低的证券。,一般地，假设经济主体在未来的全部收益或财富是一个随机变量，关于这个未来财富变量的效用函数可以通过泰勒展开式在经济行为主体对于这个随机变量的预期值周围展开。即,两边取期望值后得到：显然，对于具有严格凹的递增效用函数的经济主体而言，其评价风险资产的效用取决于各阶矩，包括三阶以上的中心矩。在均值方差分析中，假设小风险或者三阶以上的矩为零。,二、均值方差分析的基本性质,记定理1：对于期望效用函数u(.)，则（1）对于任意分布的w，存在
4、V(.,.)，使得Eu(w)具有(*)的形式u(.)是二次效用函数（2）对于任意偏好的效用函数u,若证券支付是联合正态分布，则Eu(w)具有(*)的形式定理2：如果证券支付是联合正态分布，并且u(.)0以及u(.)0;(2)2V0;(3)112V0;(4)222V0;(5)V(.)是凹的,在均值方差平面上对应的相同期望效用水平的曲线，称为均值方差的无差异曲线。定理3：当证券支付（或者参与者未来财富）服从正态分布时，风险厌恶者的收益与风险之间的边际替代率是正的，无差异曲线是凸的，并且越是位于西北方向的无差异曲线，其效用越高。,1.二次效用函数的局限性 二次效用函数具有递增的绝对风险厌恶和满足性两
5、个性质。满足性意味着在满足点以上，财富的增加使效用减少，递增的绝对风险厌恶意味着风险资产是劣质品。这与那些偏好更多的财富和将风险视为正常商品的投资者不符。所以在二次效用函数中，我们需要对参数b的取值范围加以限制。,2.收益正态分布的局限性（1）资产收益的正态分布假设与现实中资产收益往往偏向正值相矛盾。收益的正态分布意味着资产收益率可取负值，但这与有限责任的经济原则相悖（如股票的价格不能为负）。（2）对于密度函数的分布而言，均值-方差分析没有考虑其偏斜度。概率论中用三阶矩表示偏斜度，它描述分布的对称性和相对于均值而言随机变量落在其左或其右的大致趋势。显然，正态分布下的均值-方差分析不能做到这一点
6、。（3）用均值-方差无法刻画函数分布中的峰度。概率论中用四阶矩表示峰度。但这一点在正态分布中不能表达。实际的经验统计表明，资产回报往往具有“尖峰”“厚尾”的特征。这显然不符合正态分布。,尽管均值-方差分析存在缺陷，且只有在严格的假设条件下才能够与期望效用函数的分析兼容，但由于其分析上的灵活性，相对便利的实证检验以及简洁的预测功能，使其成为广泛运用的金融和财务分析手段。,三、均值方差的计算,资产的期望收益（均值）（1）单一资产的期望收益 在任何情况下，资产的均值或期望收益是其收益的概率加权平均值。Pr(s)表示s状态下的概率，r(s)为该状态下的收益率，则期望收益E(r)为,（2）资产组合的期望
7、收益（均值）资产组合的期望收益是构成组合的每一资产收益率的加权平均，以构成比例为权重.每一资产对组合的预期收益率的贡献依赖于它的预期收益率，以及它在组合初始价值中所占份额，而与其他一切无关。,假定市场上有资产1，2，N。资产i的期望收益率为 E(ri)，方差为i，资产i与资产j的协方差为ij（或相关系数为ij）（i,j=1，2，N）投资者的投资组合为：投资于资产i的比例为 zi(i=1，2，N),则资产组合的期望收益为,资产的方差1.单一资产的方差 资产收益的方差是期望收益偏差的平方的期望值：,2.资产组合的方差（1）两资产组合收益率的方差 方差分别为 与 的两个资产以z1与z2的权重构成一个
8、资产组合 的方差为，如果一个无风险资产与一个风险资产构成组合，则该组合的标准差等于风险资产的标准差乘以该组合投资于这部分风险资产的比例。,（2）多资产组合的方差,资产组合的风险分散效应：资产组合的方差不仅取决于单个证券的方差，而且还取决于各种证券间的协方差。随着组合种证券数目的增加，在决定组和方差时，协方差的作用越来越大，而方差的作用越来越小。例如，在一个由30种证券组成的组合中，有30个方差和870个协方差。若一个组合进一步扩大到包括所有的证券，则协方差几乎就成了组合标准差的决定性因素。风险的分散化原理被认为是现代金融学中唯一“白吃的午餐”。将多项有风险资产组合到一起，可以对冲掉部分风险而不
9、降低平均的预期收益率。,相关结论：1.资产组合的方差是以协方差矩阵各元素与投资比例为权重相乘的加权平均总值。它除与各资产的方差有关外，还与各资产间的协方差和相关系数有关。2.资产组合的预期收益可以通过对各种单项资产加权平均得到，但风险却不能通过各项资产风险的标准差的加权平均得到(这只是组合中成分证券间的相关系数为1时的特例情况)。,3.在资产方差或标准差给定下，组合的每对资产的相关系数越高，组合的方差越高。只要每两种资产的收益间的相关系数小于一，组合的标准差一定小于组合中各种证券的标准差的加权平均数。如果每对资产的相关系数为完全负相关即为1且成分证券方差和权重相等时，则可得到一个零方差的投资组
10、合。但由于系统性风险不能消除，所以这种情况在实际中是不存在的。,四、均值方差前沿组合（只考虑风险资产）,1、可行集两个资产构成的组合位于均值方差平面中的三角形区域内。（该区域称为可行集）,可行集：可行集也称资产组合的机会集合。它表示在收益和风险平面上，由多种资产所形成的所有期望收益率和方差的组合的集合。可行集包括了现实生活中所有可能的组合，即所有可能的证券投资组合将位于可行集的内部或边界上。一般说来，N种资产的可行集的形状像伞形：,标准差,期望收益,2、N种资产均值方差前沿组合,（1）模型的基本假定 a.市场上存在N2种风险资产，z代表投资到N种资产上的投资比例，z为一个N维列向量。记为：同时
11、，允许z0，即卖空不受限制。b.为i资产的期望收益率，为风险资产组合的期望收益，同时，令所有N种资产的期望收益率组成的向量为,c.假设N种资产的收益率是非共线性的，即其中任何一种风险资产的随机收益都不能表示为其他资产随机收益的线性组合。则组合的期望收益为：d.组合的方差、协方差矩阵为：,由于我们假定组合中资产的随机收益是非共线性的，所以，该矩阵是非奇异（nonsingular）的。此外，由于组合的方差是非负的，所以，组合的方差必须是一个正定矩阵，即对于任何非0的向量 z，都有，因此，整个组合的方差为 在总投资一定的情况下，如果参与者具有均值方差偏好，那么投资者关注其均值和方差。,N种风险资产组
12、合的组合前沿1.定义 给定收益率水平rp，如果一个资产组合收益率的方差是所有期望收益率为rp的组合中最小的，则称它为一个前沿组合（frontier portfolio），所有前沿组合构成的集合为组合边界。用数学语言描述为：p是一个前沿资产组合当且仅当它的证券组合权重是二次规划问题P的解。,通过上述二次规划问题的求解，我们可以得到组合边界方程，它是均值-方差平面上的一条双曲线，这条双曲线称为均值方差前沿（mean variance frontier,MVF）双曲线的顶点对应于一个在所有组合中方差最小的组合，成为最小方差组合（minimum variance portfolio,MVP）。,MVF
13、,标准差,均值,mvp,有效组合前沿:期望收益率严格高于最小方差组合期望收益率的前沿边界称为有效组合前沿。位于资产组合前沿边界，既不是有效资产组合，又 不是最小方差资产组合的前沿边界合称为非有效组合 前沿。对于每一个属于非有效组合前沿上的资产组合，存在一个具有相同方差但更高期望收益率的有效资产组合。,组合前沿的性质:(1).任何一个具有均值-方差偏好的经济主体的最优组合是一个均值-方差前沿组合。(2).任意的前沿资产组合都可以由期望收益为0和期望收益为1的两个前沿组合组合而成。(3).任何具有均值-方差效率的资产组合都可由任何两个具有均值-方差效率的组合构成；由两个均有均值-方差效率的资产组合
14、的线性组合构成的资产组合也是具有均值-方差效率的资产组合。,(4).任何前沿边界组合的线性组合仍在前沿边界上。有效资产组合的任何凸组合仍是有效组合，有效组合的集合因此是一个凸集。(5).最小方差组合mvp，与任何资产组合（不仅仅是前沿边界上的）收益率的协方差总是等于最小方差资产组合的收益率的方差。(6).资产组合边界的一个重要性质是，对于前沿边界上的任何资产p，除了最小方差资产组合，存在唯一的前沿边界资产组合，用zc(p)表示，与p的协方差为0。(7).不存在与最小方差资产组合具有0协方差的前沿边界资产组合。,(8).令p为一MVF组合，对于任意组合q，成立Zc（p）性质：（1）zczc(p)
15、=p（2）若p是有效证券组合，则E(rzcp)rmvp，从而是非有效组合；反之成立（3）在均值方差平面上，过p作证券组合前沿的切线，交于纵轴，交点的纵坐标为E(rzcp),均值方差前沿组合（存在无风险资产）,（一）基本假设 1.资产组合由一个无风险资产和风险资产构成。2.无风险资产的收益率为rf，风险资产的随机收益分别为r 考虑无风险资产情况下的投资者的二次规划问题为：,构造一个拉格朗日函数，可求得也即是，在均值标准差坐标平面上，包括无风险证券在内的所有证券的证券组合前沿是以无风险收益率为顶点的两条射线。,情形1：图见下页在图中e点是射线与风险证券的组合前沿相切的切点。线段rfe任意一支证券组
16、合都是风险证券组合e和无风险证券的凸组合。在线段rfe 之外的射线上证券组合都涉及卖空无风险证券并运用收益买入风险证券组合的投资行为。在下方射线上的证券组合涉及卖空风险证券组合，同时以其收益买入无风险证券的投资行为。如果经济行为主体是风险厌恶者，证券投资组合的有效集位于射线rfe。,情形2：,在图中e点是射线与风险证券的组合前沿相切的切点。在线段rfe 的射线上证券组合都涉及正值地买入风险证券的投资行为。在上方射线上的证券组合涉及卖空风险证券组合，同时以其收益买入无风险证券的投资行为。如果经济行为主体是风险厌恶者，证券投资组合的有效集位于上方射线上,情形3：前沿证券组合的有效集应当是位于射线上
17、的前沿组合。在此情形下，连接无风险证券和风险证券组合的切线的“切点”不存在。,仅考虑情形一 图中的直线为效率组合前沿，该直线的方程可写为：rT、T表示切点组合的期望收益和标准差，切点组合对应着投资者将所有财富投资于风险资产组合。该方程表明无风险资产与风险资产有效组合的期望值收益和标准差呈线性关系。,该切线称之为资本市场线（Capital Market Line，CML）。它表明所由具有均值-方差偏好的经济主体都在资本市场线上选择最优的资产组合。CML的斜率为：,其分子为组合的风险溢价。该分式刻画了组合单位风险所带来的风险溢价，我们称其为夏普比率（Sharp Ratio）。同样地，我们可知，有无
18、风险资产和风险资产构成的组合的夏普比率与风险资产组合T的夏普比率相等。,定理：当存在无风险证券时，MVF可由无风险证券和切点组合组合而成。即意味着在均值方差世界中，经济主体只持有均值-方差有效组合，即无风险资产和风险资产的组合。CML的斜率看作是个体在均衡状态下的期望收益率和标准差的边际替代率（MRS）。在均衡状态下，每一个体最优状态下的边际替代率相等。由于所有个体面对同一条有效边界，且无风险收益率相等，从而每个个体持有的最优风险组合是一致的。,定理：存在无风险证券时，如果p是一个MVE组合，那么对于任意组合q，成立如果将p看成是切点组合T，成立在均值方差世界中，参与者只持有均值方差有效组合，
19、也就是持有无风险证券和切点组合的组合。,最优投资组合选择,确定了有效组合前沿的形状之后，投资者就可以根据 自己的风险偏好（无差异曲线群）选择能使自己投资效用最大化的最优投资组合了。这个组合位于无差异曲线与有效集的相切点O，如图所示：,O,B,N,不存在无风险资产的情形,有效集向上凸的特性和无差异曲线向下凸的特性就额定了有效集和无差异曲线的切点只有一个，也就是说最优投资组合是唯一的。对投资者而言，有效集是客观存在的，它是由资本市场线决定的。而无差异曲线则是主观的，它是由自己的风险收益偏好决定的。风险厌恶程度越高的投资者，其无差异曲线的斜率越陡，因此其最优投资组合越接近N。风险厌恶程度越低的投资者
20、，其无差异曲线的斜率越小，因此其最优投资组合越接近B点。,存在无风险资产的情形,三、两基金分离定理,1.两基金分离定理（Two-Fund Separation Theorem)（最先由Tobin提出的）的含义 根据有效组合边界的性质，在均值方差组合的有效组合前沿上，任意两个有效组合的线性组合构成整个组合的有效前沿。在所有风险资产组合的有效组合边界上，任意两个分离的点都代表两个分离的有效投资组合，而有效组合边界上任意其它的点所代表的有效投资组合，都可以由这两个分离的点所代表的有效组合的线性组合生成。故投资者仅需持有两个前沿组合或者共同基金的线性组合。,两基金分离定理的金融含义（共同基金定理）,共
21、同基金是专门从事分散化投资的金融中介机构。共同基金一方面发行小面额的受益凭证作为自己的负债，另一方面则把筹集到的大笔资金进行分散化投资，形成自己的投资组合。如果有两家不同的共同基金，它们都投资于有风险资产，而且都经营良好，经营良好意味着它们的收益/风险关系都能达到有效组合边界。,两基金分离定理告诉我们，任何别的投资于有风险资产的共同基金，如果经营良好（即能够达到有效组合边界）的话，其投资组合一定与原来那两个共同基金（经营良好）的某一线性组合等同。只要能找到这样两家不同的经营良好的共同基金，把自己的资金按一定的比例投资于这两家基金，就可以与投资于其他经营水平高的共同基金获得完全一样的效果。这一结论对投资策略的制定无疑有重要的意义。,两基金分离,定义：如果存在两个共同基金1和2，使得对于任何资产组合q可以找到实数，对于所有凹函数u(),满足称资产收益率向量具有两基金分离性。性质1：如果两基金分离性质成立，则组合1和2一定是MVE。性质2：如果两基金分离性质成立，则任意两个不同的MVE均可以作为组合1和2，特别地，可以选取MVF中的某p和zcp。,由于1和2是前沿边界组合，任意前沿边界组合的线性组合是前沿边界组合。因此对于任意给定的资产组合q，可找到由两分离基金所组成的随机组合是与q有着相同期望收益率的前沿边界组合。可以证明两基金分离现象成立的充要条件是,
