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1、,函数的和、差、积的导数,一、复习回顾：,3.常见函数的导数公式:,(C为常数);,2.求函数的导数的方法是:,1.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率.,练一练:求下列函数的导数(1)y=100(2)y=x5,利用函数的导数公式，得,(3)y=4x2+3x,(4)y=4x2-3x,?,二、新课讲授：,1.和(差)的导数:,法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导 数的和(差),即:,证:,即:,练一练:求下列函数的导数,(1)y=5x2-4x+1,(2)y=-5x2+3x+7,(4)y=(2+x)(3-x),(5
2、)y=(2x-1)(3x+2),(3)y=x2-cosx,2.积的导数:,法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数 的导数,即,证:,因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当x0时,v(x+x)v(x).从而:,即:,推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即:,小结：有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则运算的求导法则,就可以直接运用这些公式求得由幂函数的和、差、积、构成的函数,而不必从导数定义出发了.,(轮流求导之和),例1,(1)y=(2+x)(3-x),(2)y=(2x2+3)(3x-2),课本p119练习,
3、例:求下列函数的导数,Y=(x+1)(x+2)(x+3),猜想:函数f1(X)f2(x)f3(x)fn(x)的导数,讨论函数f 1(x)+f 2(x)+f3(x)+f n(x)的导数并证明.,例求曲线y=2x+x3在x=-1处的切线方程,y=5x+2,例 4在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应的切点,解:由于,故当x=2时,有最小值.,而当x=2时,y=-13,故斜率最小的切线所对应的切点为A(2,-12).,练习:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.,解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(
4、x2-2)2).,对于 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.,对于 与S2相切于Q点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.,因为两切线重合,若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.,所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.,五、课堂小结：,1:充分掌握函数的四则运算的求导法则；,2:先化简，再求导是实施求导运算的基本方法;是化难为易、化繁为简的基本原则和策略；,3:在解决与曲线的切线有关的问题时，应结合函数与方程的思想，解析几何的基本方法和理论
5、来求解解决问题时，关键在与理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者有机地统一起来.,例5 用求导的方法求和:,对(1)由求导公式 可联想到它是另一个和式x+x2+x3+xn的导数.,例7 已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=x2+a,如果直线l 同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线 上两个切点之间的线段,称为公切线段.()a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出 此公切线的方程;()若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线 段互相平分.(2003天津高考(文)题),()解:函数y=x2+2x的导数y=2x+2,曲线C1在点P(x1,x12+2x1)的切线方
6、程是y-(x12+2x1)=(2x1+2)(x-x1),即 y=(2x1+2)x-x12;,函数y=-x2+a的导数y=-2x,曲线C2 在点Q(x2,-x22+a)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2).即y=-2x2x+x22+a.,如果直线l是过P和Q的公切线,则式和式都是l的方程.,所以 消去x2得方程:2x12+2x1+1+a=0.,若判别式=442(1+a)=0时,即a=-1/2时解得x1=-1/2,此时点P与Q重合.,即当a=-1/2时C1和C2有且仅有一条公切线,由得公切线方程为y=x-1/4.,()证:由()可知:当a-1/2时C1和C2有两条公切线.,设一条
7、公切线上切点为:P(x1,y1),Q(x2,y2).其中P在C1上,Q在C2上,则有:,x1+x2=-1,y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x12+2x1-(x1+1)2+a=-1+a.故线段PQ的中点为:,同理,另一条公切线段PQ的中点也是,所以公切线段PQ和PQ互相平分.,四、课堂练习：,1、已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程;(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点?如果有,求出这些点的坐标.,解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1,-4).,所以切线的斜率k=12-6-18=-12.故切线方程为y+4=-12
8、(x-1),即y=-12x+8.,故除切点以外,还有两个交点(-2,32),(2/3,0).,事实上,在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为-a/3的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有其它公共点.而点M实际上就是这条三次曲线的对称中心.,2、三次曲线y=x3-3x2/2-3x过原点的切线l1,平行 于l1的另一条切线为l2.(1)求l1、l2的方程;(2)当l1、l2的斜率为m时,求斜率为-m的两切线 l3、l4的方程.(3)求l1、l2、l3、l4所围成的平行四边形的面积.,答案:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2.,(2).l3:y=3x+7/2;l4:y
9、=3x-10.,(3).9/8.,六、作业布置：,1、课本 P38习题2.3No.1、；2、；3；5.,三、例题讲解：,例1 求下列函数的导数:,答案:,常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数,两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差;,就是说：,导数运算法则：,（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）,(上导乘下,下导乘上,差比下方),例2(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:F(x)=f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)即不充分也不必要条件,A,(2)下列函数在点x=
10、0处没有切线的是()(A)y=x3+sinx(B)y=x2-cosx(C)y=xsinx(D)y=+cosx,D,(3)若 则f(x)可能是下式中的(),B,(4)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的 切线的倾斜角的取值范围是(),D,例3 某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s=-4t3+16t2.(1)此物体什么时刻在始点?(2)什么时刻它的速度为零?,解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.,即t3-12t2+32t=0,解得:t1=0,t2=4,t3=8,故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.,
