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1、4.2 随机变量的方差,1.方差的概念与计算,3.方差的性质,2.常见分布的方差,下页,、方差概念的引入,随机变量的数学期望是一个重要的数学特征，反应了随机变量取值的平均大小，但只知道随机变量的数学期望是不够的.,下页,4.2 随机变量的方差,引例1.从甲、乙两车床加工的零件中各取件，测得尺寸如下：甲：8，9，10，11，12；乙：9.6，9.8，10，10.2，10.4已知标准尺寸为10(cm),公差d=0.5cm,问那一台车床好？,以X甲，X乙分别表示甲乙两车床加工零件的长度，易得 E(X甲)=E(X乙)10.虽然甲乙车床加工零件的均值相等，但其零件的质量有显著差异，甲加工的零件只有件合格
2、，乙加工的全部合格.,下页,引例2有甲、乙两人射击，他们的射击技术用下表给出.X表示甲击中环数，Y表示乙击中环数，谁的射击水平高？,因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的，但两人射击水平的稳定性是有差别的.怎么体现这个差别呢?,E(X)=9.2(环);,E(Y)=9.2(环).,思路：考察一下“误差”平方的加权平均值情况.,这表明乙的射击水平比较稳定.,甲:,乙:,下页,引例2有甲、乙两人射击，他们的射击技术用下表给出.X表示甲击中环数，Y表示乙击中环数，谁的射击水平高？,思路：考察一下“误差”平方的加权平均值情况.,这表明乙的射击水平比较稳定.,甲:,乙:,E(X)=9.2(环);
3、,E(Y)=9.2(环),一、方差的概念,定义 设X为随机变量，如果EX-E(X)2存在，则称 EX-E(X)2为X的方差，记作 D(X).即,D(X)=EX-E(X)2.,其中 PX=xk=pk k=1,2,3,.,离散型随机变量,二、方差的计算,下页,一、方差的概念,定义 设X为随机变量，如果EX-E(X)2存在，则称 EX-E(X)2为X的方差，记作 D(X).即,D(X)=EX-E(X)2.,连续型随机变量,证明：,D(X)=EX E(X)2,=EX2-2XE(X)+E(X)2,=E(X2)-2E(X)E(X)+E(X)2,解：因 E(X)=p，而 E(X 2)=12p+02q=p,于
4、是,D(X)=E(X 2)-E(X)2=p-p2=p q.,下页,三、方差的计算公式,=E(X2)-E(X)2.,例1设随机变量 X(0-1)分布，其概率分布为PX=1=p，PX=0=q，0p1，p+q=1，求D(X).,例2设随机变量X具有概率密度,求 D(X).,所以,解：,下页,四、常见分布的方差,0-1分布 概率分布为,E(X)=p.,下页,D(X)=E(X2)-E(X)2,=p-p2=p(1-p)=pq.,二项分布 设随机变量XB(n,p),其概率分布为,E(X)=np.,D(X)=E(X2)-E(X)2,E(X2)=E(X2-X+X),=EX(X-1)+X,=EX(X-1)+E(X
5、),EX(X-1),D(X)=E(X2)-E(X)2=n(n-1)p2+np-n2p2=npq.,从而得,下页,泊松分布 设随机变量XP(l)，其概率分布为,k=0,1,2,3,l0,E(X)=l.,D(X)=E(X2)-E(X)2,E(X2)=E(X2-X+X),=EX(X-1)+X,=EX(X-1)+E(X),EX(X-1),D(X)=E(X2)-E(X)2=l2+l-l2=l.,从而得,下页,均匀分布 设X Ua,b 概率密度为,从而得,下页,指数分布 设X E(l)概率密度为,从而得,下页,正态分布 设XN(,2)概率密度为,推广 若X1,X2,Xn相互独立，则D(X1+X2+Xn),
6、设 C 均为常数，则有,下页,五、方差的性质,性质2 D(CX)=C 2 D(X),性质3 D(X+C)=D(X),性质4 设X,Y是两个相互独立的随机变量，则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y),性质1 D(C)=C,证明：(2)D(CX)=E CX-E(CX)2=C2 EX-E(X)2=C2 D(X).,(3)D(X+C)=E(X+C)-E(X+C)2=EX E(X)2=D(X).,EX-E(X)Y-E(Y)=EXY-E(X)Y-E(Y)X+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y)，,由于 X,Y相互独立，故有 E
7、(XY)=E(X)E(Y)，从则有,EX-E(X)Y-E(Y)=0,(4)D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2=EX-E(X)+Y-E(Y)2=EX-E(X)2+EY-E(Y)2+2EX-E(X)Y-E(Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)，而,于是 D(X+Y)=D(X)+D(Y),练习：若X，Y相互独立，证明 D(X-Y)=D(X)+D(Y).,下页,D(X)=D(X1+X2+Xn),令,显然 Xi 均服从(0-1)分布,即 E(Xi)=p,D(Xi)=pq(i=1,2,n),且 X1,X2,Xn相互独立.于是有,E(X)=E(X1+X2+Xn),=E(X1)+E(
8、X2)+E(Xn)=np.,=D(X1)+D(X2)+D(Xn)=npq.,解：,X=X1+X2+Xn，,（这是新视角用意所在！）,例3在 n 重贝努里试验中，用 X 表示 n 次试验中事件A 发生的次数，记P(A)=p，求E(X)，D(X),下页,本题旨在给出一个思考与解决问题的新视角！,例4.,解：,下页,因为,从而,下页,例4.,解：,小 结,D(X)=EX-E(X)2,1.方差的定义与计算,2.常见分布的期望与方差,下页,练习题,1.设X表示独立射击目标10次所击中目标的次数，每次击中的概率为0.4则 E(X 2)=(),2.随机变量X与Y独立，且XN(1,2)，YN(0,1),则Z=2X-Y+3的期望与方差分别为（）,二、单选题,一、填空题,设X和Y是两个随机变量，则下式正确的是（）,三、计算题*,设有n个同样的盒子和n个同样的小球分别编号为1,2,3,，n将n个球随机地放入n个盒子中去，每个盒子放一个球，求与盒子编号相同的小球数的数学期望,下页,作业：112页 8,9,10,11,12,结束,
