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1、抛物线及其标准方程,复习：,到一个定点F的距离和它到一条定直线l 的距离的比是常数e的动点M 的轨迹.（直线 l 不经过点F）,（1）当0e 1时，点M的轨迹是什么?,（2）当e1时，点M的轨迹是什么?,是椭圆,是双曲线,当e=1时，即|MF|=|MH|，点M的轨迹是什么？,思考?,实验:取一条长为AC的绳子,一端点固定在点A 上,另一端点固定在定点F上,把笔尖放在P点上,沿着直线l上下移动三角形作出点P移动的轨迹图形.,动手做实验,点击图演示动画,平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,一、抛物线定义,想一想?定义中当直线l经过定点F，则点M的轨迹是什
2、么？,其中 定点F 叫做抛物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线,即:当|MF|=|MH|时,点M的轨迹 是抛物线,经过点F且垂直于l 的直线,感受生活中抛物线图形的例子,生活中存在着各种形式的抛物线,如何求点M的轨迹方程？,想一想？,如图,设定点F到定直线l 的距离为p（p0）,如何建立坐标系,求出点M的轨迹方程最简洁?,（1）由|MF|=|MH|，得 即得y2=2px-p2,（2）由|MF|=|MH|，得 即得y2=2px,设M（x，y）,把方程 y2=2px（p0）叫做抛物线的标准方程,而p 的几何意义是:,焦点到准线的距离,简称“焦准距”.,一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，
3、方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.,二、标准方程,四种抛物线的标准方程对比,四种抛物线标准方程的归纳总结:,(2)标准方程中右边一次项系数的正、负决定抛物线开口方向.若为正号，则抛物线开口朝正向，否则朝负方向。,(1)若一次项的变量如果为x，则焦点在x轴上；若一次项的变量如果为y，则焦点在y轴上。,例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程。(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,2),求它的标准方程.(3)已知抛物线经过点(-3,2),求它的标准方程。,用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：,（1）确定抛物线的形式.,（2）求p值,（3）写抛物线方程,注意:
4、焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论,例2：(1)已知抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上，求它的标准方程。(2)若抛物线的焦点为(2,2),准线方程为x+y-1=0,求此抛物线方程.,结论:抛物线y2=2ax()的焦点坐标为,准线方程为(与a0时的结论一致，不必讨论),（2）x2=y,焦点坐标为（0，），准线方程是y=,解：（1）x2=y，焦点坐标为（0，），准线方程是y=,变式：写出下列抛物线的标准方程、焦点坐 标和准线方程：（1）6y+5x2=0；（2）y=6ax2（a0）.,感悟：求抛线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程,例3.(1).已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛
5、物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线方程和m的值.(2).已知点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程.,例4.已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标。,第二课时,例4.已知抛物线方程y2=2px(p0),AB是过焦点F的一条弦，点A(x1,y1),B(x2,y2).求证:(1)y1y2=-p2,x1x2=(2)|AB|=x1+x2+p=(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切(4)A、B在准线上的射影为C、D，则(5),抛物线的几何性质,y2=2p
6、x,l,A,B,过焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段AB叫做抛物线的通径，,长为2p,P越大，开口越阔,1.抛物线通径长为2p,y2=2px（p0）,y2=-2px（p0）,x2=2py（p0）,x2=-2py（p0）,2.抛物线的焦半径公式,关于x 轴对称，无对称中心,关于x 轴对称，无对称中心,关于y 轴对称，无对称中心,关于y 轴对称，无对称中心,e=1,e=1,e=1,e=1,抛物线的几何性质特点,（1）只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但没有渐进线。,（2）只有一条对称轴，没有对称中心。,（3）只有一个顶点，一个焦点，一条准线。,（4）离心率e是确定的，即e=1,（5
7、）一次项系数的绝对值越大，开口越大,例1.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分（如图）光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程。,F,A,B,分析：在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于灯口直径。设抛物线的标准方程为y2=2px(p0)，由题意得，点A的坐标为（40，30）代入方程得,所以所求抛物线的标准方程是y2=x,8,24,4p,练习：,例3.已知A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点,且OAOB（O为原点)求证:(1)A、B两点的横坐标之积,纵坐标之积,分别都是定值；(2)直线AB经过一个定点；(3)求O在线段AB上的射影M的轨迹方程。,例4.设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上,且BCx轴，求证:直线AC经过原点.,
