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1、第一节 向量的内积与欧氏空间,一、欧氏空间的定义,在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法和数量乘法。如果我们以几何空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，那么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等，在线性空间理论中没有得到反映。但是向量的度量性质在许多问题中有着特殊的地位，因此有必要引入度量的概念。,在解析几何中，向量的长度与夹角等度量性质是通过向量的内积来表示的，而向量的内积具有明显的代数性质，所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念。,定义 1 设V是实数域R上的线性空间，对V中任意两个元素，确定一个实数（,)，如果它具有以下性质,(1),(2),(3),(4)当且仅当 时,这里
2、，是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间称为欧几里得空间，称为与的内积。,例 1 对于n 维向量空间Rn中的向量,定义,则数（,）被唯一确定，并且满足,（1）,（2）,（3）如果,则,（4）,当且仅当,时,所以向量空间Rn在所定义的内积下,构成一个欧氏空间。,二、向量的长度和夹角,在欧氏空间中也可以引入向量的长度和夹角的概念。,定义 2 非负实数 称为向量的长度，记为。显然。,定理1（Cauchy-Schwarz不等式）对于欧氏空间中任意两个向量，有,当且仅当，线性相关时，等号成立。（证略）,定义 3 设，是欧氏空间中的两个非零向量，规定,为向量与的夹角。,定义 4 设V 是一个欧氏空间，V。如果(,)=0，则称与是正交的，记作。,
