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1、43 常用的统计分布,一、分位数,二、2分布,三、F分布,四、t 分布,一、分位数,定义44(上侧分位数)设随机变量X的分布函数为F(x)给定实数(01)如果实数F 满足 PXF 1F(F)(46)则称F 为分布函数F(x)的水平的上侧分位数,当X是连续型随机变量时 设其密度函数为f(x)则其水平的上侧分位数F 满足,一、分位数,定义45(双侧分位数)设X是对称分布的连续型随机变量 其分布函数为F(x)给定实数(01)如果正实数T满足 P|X|T(412)即 F(T)F(T)1(413)则称T 为分布函数F(x)的水平的(双侧)分位数,定义44(上侧分位数)设随机变量X的分布函数为F(x)给定
2、实数(01)如果实数F 满足 PXF 1F(F)(46)则称F 为分布函数F(x)的水平的上侧分位数,标准正态分布的分位数 用u表示标准正态分布N(01)的水平的上侧分位数 则u满足 10(u)即 0(u)1(49),例46 设005 求标准正态分布的水平005的上侧分位数和双侧分位数,水平005的上侧分位数为u005 它满足 0(u005)1005095 查附表2得 u0051645,解,标准正态分布的分位数 用u表示标准正态分布N(01)的水平的上侧分位数 则u满足 10(u)即 0(u)1(49),例46 设005 求标准正态分布的水平005的上侧分位数和双侧分位数,解,水平005的双侧
3、分位数为u0025 它满足 0(u0025)100250975 查附表2得 u0 025196,二、2分布,命题41,如果随机变量X的密度函数由(418)给出 则称X服从以n为自由度的2分布,定义46(2分布)如果随机变量X的密度函数为,则称X服从以n为自由度的2分布 记作X2(n),根据命题41 若X1 X2 Xn是n个相互独立的标准正态随机变量 则,说明,命题42(1)若X 2(m)Y 2(n)且X与Y相互独立 则 XY 2(mn)(2)若X 2(n)则 EXn DX2n,定义46(2分布)如果随机变量X的密度函数为,则称X服从以n为自由度的2分布 记作X2(n),2分布的分位数,附表3中
4、对自由度n45的 2分布给出了水平的上侧分位数之值 当X 2(n)时 有,例如 设X 2(10)取水平005 查表可知 PX18307PX3940 005 P3247X20483095,当自由度n充分大时 2分布可近似地看作正态分布 于是由正态分布的分位数可近似地求得 2分布的分位数,2分布的分位数,附表3中对自由度n45的 2分布给出了水平的上侧分位数之值 当X 2(n)时 有,三、F分布,命题43 设X 2(m)Y 2(n)且X与Y相互独立 记,则Z的密度函数为,如果随机变量X的密度函数由(420)给出 则称X服从第一自由度为m 第二自由度为n的F分布,定义47(F分布)如果随机变量X的密
5、度函数为,则称X服从第一自由度为m 第二自由度为n的F分布 记作XF(m n),由命题43不难推知 若XF(m n)则X 1F(n m),当XF(m n)时 有 PXF(m n)PXF1(m n),附表4中对一些充分小的值列出了F分布的水平的上侧分位数F(m n)之值,F分布的分位数,例如 设XF(510)查表4知 PX333005 PX4240025 又设YF(10 5)查表可得 PY474005 PY6620025,当XF(m n)时 有 PXF(m n)PXF1(m n),附表4中对一些充分小的值列出了F分布的水平的上侧分位数F(m n)之值,F分布的分位数,由(421)式知,当接近于1
6、时 可利用下式求出所需的上侧分位数,当XF(m n)时 有 PXF(m n)PXF1(m n),附表4中对一些充分小的值列出了F分布的水平的上侧分位数F(m n)之值,F分布的分位数,当接近于1时 可利用下式求出所需的上侧分位数,例如 当XF(5 10)时 查表可知,四、t 分布,命题44 设XN(01)Y 2(n)且X与Y相互独立 记,则T的密度函数为,如果随机变量的密度函数由(423)给出 则称其为服从自由度为n的t分布,定义48(t分布)如果随机变量X的密度函数为,则称X服从自由度为n的t分布 记作Xt(n),当自由度n很大时 t分布接近于标准正态分布 这是因为,t分布的分位数 附表5对于一些充分小的值给出了t分布的水平的上侧分位数t(n)之值,当Xt(n)时 有 PXt(n)PXt(n),P|X|t/2(n),例如 设Xt(8)005 查表可知 t(8)1860 t/2(8)2306 故有,P|X|2306005,PX1860PX1860,t分布的分位数 附表5对于一些充分小的值给出了t分布的水平的上侧分位数t(n)之值,当接近1时 可按下式求出相应的上侧分位数 t(n)t1(n)(424),当Xt(n)时 有 PXt(n)PXt(n),P|X|t/2(n),此外 由于自由度n充分大时 t分布近似于标准正态分布 故有t(n)u,
