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1、2.3.4 平面向量共线的坐标表示,(2)范围 向量夹角的范围是,a与b同向时，夹角=;a与b反向时，夹角=.,非零,0180,180,0,复习回顾,1.两个向量的夹角（1）定义 已知两个 向量a和b,作=a，=b，则 AOB=叫做向量a与b的夹角.,(3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直,记作.2.平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量基本定理 定理：如果e1,e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数 1,2,使a=.其中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.,90,ab,不共线,有且只有,基底,1e1+2e2,(x,y),x
2、,y,(x,y),设=xi+yj，则向量 的坐标（x,y)就是，即若=（x,y），则A点坐标为,反之亦成立.（O是坐标原点）,终,点A的坐标,（x,y）,互相垂直,(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解.,(3)平面向量的坐标表示,在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使a=xi+yj,把有序数对 叫做向量a的坐标，记作a=，其中 叫a在x轴上的坐标，叫a在y轴上的坐标.,终点,始点,3.平面向量的坐标运算,（1）加法、减法、数乘运算.,设a=(x1,y1),b=(x2,y2
3、),则a+b,=(x1+x2,y1+y2),a-b,=(x1-x2,y1-y2),a,=(x1,y1),（2）向量坐标的求法,已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量 的坐标减去 的坐标.,观察思考,新课引入,平面向量的共线定理？,注:（1）消去 时不能两式 相除，因为有可能x,y为0；（2）不能写成 因为x1、x2有可能为0；,二.新课学习,例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断A、B、C三点 之间的位置关系。,典例精析,1.已知a=(3,4),b=(cos,sin),且a/b,求tan.,tan=4/3,课
4、堂练习,2.若三点P(1,1)，A(2,4)，B(x,9)共线，则（）Ax=1 Bx=3 Cx=Dx=51,B,例3:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是。（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。,x,y,O,P1,P2,P,(1),M,解:(1),所以，点P的坐标为,典例精析,(2),例3:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是。（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。,典例精析,直线l上两点 p1、p2，在l上取不同于 p1、
5、p 2的任一点P，则P点与p1 p2的位置有哪几种情形？,存在一个实数，使，叫做点P分有向线段 所成的比,问题探究,设，P分 所成的比为，如何求P点的坐标呢？,设p(x，y),有向线段 的定比分点坐标公式,有向线段 的中点坐标公式,例4已知两点，求点 分 所成的比 及 y 的值,解：由线段的定比分点坐标公式，得,解得,典例精析,2.会用平面向量平行的坐标形式判断三点共线和两直线平行；,3.明白判断两直线平行与两向量平行的异同。,课堂总结,思考题 如图，的三个顶点的坐标分别为，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且，求点G的坐标,由定比分点坐标公式可得G点坐标为：,解：D是AB的中点,点D的坐标为,由定比分点坐标公式可得G点坐标为：,即点G的坐标为,1.ABC的三条边的中点分别为(2,1)和(3,4),(1,1)，则ABC的重心坐标为 _,2.已知向量a=(2x,7),b=(6,x+4)，当x=_时，a/b,3或7,课堂练习,3.已知a=(1,0),b=(2,1),当实数k为何值时,向量kab与a+3b平行?并确定它们是同向还是反向.,解：kab=(k2,1),a+3b=(7,3),kab/a+3b,这两个向量是反向。,
