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1、第二节,空间直角坐标系与向量的坐标表示,一、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 O,坐标面,卦限(八个),1.空间直角坐标系的基本概念,zOx面,在直角坐标系下,向径,坐标轴上的点 P,Q,R;,坐标面上的点 A,B,C,点 M,特殊点的坐标:,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0);,坐标轴:,坐标面:,2.向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点 M,则,沿三个坐标轴方向的分向量,的坐标为,记,四、利用坐标作向量的线性运算,则,平行向量对应坐标成比例:,例2.
2、,求解以向量为未知元的线性方程组,解:,2 3,得,代入得,例3.已知两点,在AB所在直线上求一点 M,使,解:设 M 的坐标为,如图所示,及实数,得,即,说明:由,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点,于是得,中点公式:,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,例4.求证以,证:,即,为等腰三角形.,的三角形是等腰三角形.,为顶点,例5.在 z 轴上求与两点,等距,解:设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1)如何求在 xOy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?,(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的
3、轨迹方程?,离的点.,提示:,(1)设动点为,利用,得,(2)设动点为,利用,得,且,例6.已知两点,解:,2.方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点 O,称=AOB(0)为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,与三坐标轴的夹角,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,方向余弦的性质:,例7.已知两点,和,的模、方向余弦和方向角.,解:,计算向量,例8.设点 A 位于第一卦限,解:已知,角依次为,求点 A 的坐标.,则,因点 A 在第一卦限,故,于是,故点 A 的坐标为,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,第二节,3.向量在轴上的投影,第二节,例如,在坐标轴上的投影分别为,即,投影的性质,(为实数),例9.,第二节,设立方体的一条对角线为OM,一条棱为 OA,且,解:如图所示,记 MOA=,作业 P12 3,5,13,14,15,18,19,备用题,解:因,1.设,求向量,在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分,向量.,在 y 轴上的分向量为,故在 x 轴上的投影为,2.设,求以向量,行四边形的对角线的长度.,该平行四边形的对角线的长度各为,对角线的长为,解：,为边的平,
