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1、第四章 正态分布,数学与信息技术系,第一节 正态分布的概率密度与分布函数,本章我们讨论概率论与数理统计中最常用、最重要的一种连续型随机变量的分布正态分布,实例1 零件的尺寸(P49例)在自动机床加工制造零件的过程中，我们周期地抽取一些样品，测量它们的尺寸，并记录在专用的表格上。设共抽取250个零件，测得零件尺寸与规定尺寸的偏差如下表,现实世界中有许多事件服从或者近似服从这一分布，如：,其直方图如下图,实例2 年降雨量问题，我们用上海九十九年年降雨量的数据画出的频率直方图。,年降雨量在1100附近的较多，降雨量特多或者特少的情形只是少数年份,实例3(某大学大学生)下图是用某大学大学生的身高的数据
2、画出的频率直方图。,红线是拟合的曲线具有“两头低，中间高，左右对称”,除了我们在前面介绍过的零件的尺寸、年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的其它质量指标如纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从这样一种分布正态分布.,复习：连续型随机变量的刻画方式有哪些？,2.概率分布密度或概率密度：,这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某随机变量X的概率密度函数的充要条件.,分布函数与概率密度的内在联系：,或者,设 定义如下,它能成为某个随机变量的概率密度吗？,回答是肯定的。这是因为,(I)、正态分布的定义,显然 满足，,下
3、面验证 也成立,其实，此时只要令 就有,至于 的证明参见华东师大版数学分析下册P187例7，或者利用函数的性质.,.,y=f(x)所确定的曲线叫作正态分布曲线.,若随机变量 X 的概率密度为,其中 和 都是常数，任意，0，则称X服从参数为 和 的正态分布(高斯分布).,由此我们给出如下的定义,(II)、正态分布 分布曲线的特点,正态分布的分布曲线是一条关于 对称的钟形曲线.,特点是“两头低，中间高，左右对称”.,令x=+c,x=-c(c0),分别代入f(x),可得,f(+c)=f(-c),且 f(+c)f(),f(-c)f(),故f(x)以为对称轴，并在x=处达到最大值,因为,当x 时，f(x
4、)0,这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f(x)以x轴为渐近线。,这是数学分析的内容，如果忘记了，课下再复习一下。华东师大版数学分析上册P152页,用求导的方法可以证明，,x=,为f(x)的两个拐点的横坐标。,对,固定，变化时的图形,决定了图形的中心位置,固定，变化时的图形,决定了图形中峰的陡峭程度.,(III)、正态分布的分布函数,因为X 即 故,(IV)、标准正态分布,其概率密度和分布函数常用 和 表示：,(x)的一个重要性质,定理,(V)、标准正态分布与一般正态分布的关系：,事实上，由公式,其中Y=a+bX，可知当 时有,（VI）、利用正态分布表进行计算,若 XN(0,
5、1),则,当a0时，可以通过附录正态分布函数数值表(表2)查得;当a,b中至少有一个为负数(不妨设a为负数)时,则没办法直接查表到,这时可以先查得，然后利用公式可以，求得,这说明，X的取值几乎全部集中在(-3,3)区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,由标准正态分布的查表计算可以求得，,当XN(0,1)时，,P(|X|1)=2(1)-1=0.6826,P(|X|2)=2(2)-1=0.9544,P(|X|3)=2(3)-1=0.9974,（VII）、3 准则,由标准正态分布与一般正态分布的关系，若,时，,实际可能的取值区间，这在统计学上称作,可以认为，X 的取值几乎全部集中在区间,因
6、而根据小概率事件的实际不可能性原理，,准则”（三倍标准差原则）,例1（1）假设某地区成年男性的身高（单位：cm）XN(170,7.692)，求该地区成年男性的身高超过175cm的概率。,解:(1)根据假设XN(170,7.692)，则,故事件X175的概率为,P(X175)=,=0.2578,解:(2)设车门高度为h cm,按设计要求,P(X h)0.01,或,下面我们来求满足上式的最小的h.,（2）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高度应如何确定?,P(X h)0.99，,因为XN(170,7.692),查表得(2.33)=0.99010.99,所
7、以=2.33,即 h=170+17.92 188,设计车门高度为188厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.,例2 设随机变量X服从标准正态分布，求随机变量函数Y=X2的概率密度。,解：FY(y)=P(Yy)=P(X2 y),当y0时，显然 FY(y)=0,分析:要求Y的密度函数，只要求出其分布,函数FY(y)即可,被积函数为偶函数,当y0时，FY(y)=P(),所以，Y的分布函数为,故，Y的概率密度为,所得分布称为自由度为1的 分布(参看5.3),小结：这一讲，我们介绍了正态分布(一般正态分布以及标准正态分布)概率密度、分布函数及相关性质，以及如何将一般正态分布转化为标准正态分布进行计算等问题,
