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1、传感与转换技术的理论基础,2,测量、误差的基本概念,误差的判定准则及其处理方法,测量概论,测量数据的估计和处理,误 差绝对误差、相对误差、引用误差 基本误差、附加误差、残余误差 随机误差、系统误差、粗大误差,计算方法残余误差均方根偏差(估计)算术平均值的均方根偏差,知识要点,3,带着思考来学习,怎样用数学表达式描述误差？测量值的表达式如何书写？如何判断粗大误差？,测量误差,4,1.1 测量概论,测量 measure,测量是以确定量值为目的的一系列操作。所以测量也就是将被测量与同种性质的标准量进行比较，确定被测量对标准量的倍数。它可由下式表示:,式中：x 被测量值;u 标准量,即测量单位;n 比
2、值（纯数）,含有测量误差。,5,仪表指针,测量方法 measuring method,实现被测量与标准量比较得出比值的方法，称为测量方法。通过测量方法、测量条件、测量仪表、被测量的变化进行分类。,直接测量、间接测量与组合测量等精度测量与不等精度测量偏差式测量、零位式测量与微差式测量静态测量与动态测量,直接测量的结果,测量条件,被测量与时间的关系,6,测量误差 measuring error,测量的目的是希望通过测量获取被测量的真实值。但由于种种原因，例如，传感器本身性能不十分优良，测量方法不十分完善，外界干扰的影响等，都会造成被测参数的测量值与真实值不一致，两者不一致程度用测量误差表示。测量误
3、差就是测量值与真实值之间的差值。,7,测量误差的表示方法,绝对误差：绝对误差可用下式定义:=x-L 式中：绝对误差;x 测量值;L 真实值。,相对误差：相对误差的定义:=100%式中:相对误差，一般用百分数给出,8,引用误差：相对仪表满量程的一种误差,基本误差：指仪表在规定的标准条件下所具有的误差。如传感器在(2205)v,(502)Hz,(252)条件下所具有的误差。附加误差：指传感器或仪表的使用条件偏离额定条件下出现的误差。,9,2.测量误差出现的规律,误差分为三种:随机误差、系统误差、粗大误差,随机误差：对同一被测量进行多次重复测量时，绝对值和符号不可预知地随机变化，但就误差的总体而言，
4、具有一定的统计规律性的误差称为随机误差。,随机误差,10,系统误差：对同一被测量进行多次重复测量时，如果误差按照一定的规律出现，则把这种误差称为系统误差。例如：标准量值的不准确及仪表刻度的 不准确而引起的误差。,粗大误差：超出在规定条件下预期的误差为粗大误差（疏忽误差）。测量者疏忽大意或环境条件的突然变化会引起这类误差。对于粗大误差，应设法判断是否存在，然后将其剔除。,11,1.2 测量数据的估计和处理 estimation,测量数据中含有系统误差和随机误差，有时还会含有粗大误差。它们的性质不同，对测量结果的影响及处理方法也不同。对于不同情况的测量数据，首先要加以分析研究、判断情况、分别处理，
5、再经综合整理以得出合乎科学性的结果。,12,随机误差的统计和处理 statistics,判断：测量中，当系统误差已设法消除或减小到可以忽略的程度时，如果测量数据仍有不稳定的现象，说明存在随机误差。方法：用概率数理统计的方法来研究。任务：从随机数据中求出最接近真值的值，对数据精密度（可信赖的程度）进行评定。,13,实践表明，随机误差具有特征：单峰性：绝对值小的随机误差出现的概率大于绝对值大的随机误差出现的概率有界性：随机误差的绝对值不会超出一定界限对称性：测量次数n很大时，绝对值相等、符号相反的随机误差出现的概率相等。,1.随机误差的正态分布曲线 random error,当测量次数足够多时,测
6、量过程中产生的误差服从正态分布规律。,14,y 概率密度;随机误差（随机变量）被测量的算术平均值 均方根偏差（标准偏差）正态总体的平均值,随机误差,算术平均值,其中：,正态分布曲线,分布密度函数,15,均方根偏差 标准差,2正态分布的随机误差的数学特征,算术平均值是测量值中最可信赖的，可以作为等精度多次测量的结果，反映随机误差的分布中心。,均方根偏差则反映随机误差的分散程度,16,实际测量时，由于真值L是无法确切知道的，用测量值的算术平均值代替，各测量值与算术平均值差值称为残余误差，即,用残余误差计算的均方根偏差称为均方根偏差估计值。,残余误差,均方根偏差估计值,评定单次测量值所出现误差的指标
7、，即样本标准差,无偏估计,参数的样本估计值的期望值=参数的真实值 无偏估计：设A=g(x1,x2,.,xn)是未知参数A的一个点估计量，若A满足E(A）=A，则称A为A的无偏估计量，否则为有偏估计量。无偏估计就是系统误差为零的估计均方根偏差估计值s作为总体标准差的估计值,但不是的无偏估计,而样本方差s2才是总体方差2的无偏估计。,18,算术平均值,算术平均值是反映随机误差的分布中心均方根偏差则反映随机误差的分散程度,均方根偏差 标准偏差,19,算术平均值的均方根偏差,通常在有限次测量时，算术平均值不可能等于被测量的真值L，它也是随机变动的。设对被测量进行m组的“多次测量”，各组所得的算术平均值
8、也有一定的分散性，也是随机变量。算术平均值的精度可由 算术平均值的均方根偏 差来评定。,随机误差在(-,+)出现的概率,误差区间通常表示成的倍数,如t,置信概率,t置信系数；t误差范围,随机误差在任意区间出现的概率,残余误差v的概率密度,21,几个典型的 t 值及其相应的概率,当 t=1时,Pa=0.6827,即测量结果中随机误差出现在-+范围内的概率为68.27%。而出现在-3+3范围内的概率是99.73%,因此可以认为绝对值大于3的误差是小概率事件。,测量结果可表示为,22,Pa与关系,随机误差在t范围内出现的概率为Pa，超出的概率称为显著度。用表示。,-t 0+t,=1-Pa,显著度,2
9、3,基本概念、误差,随机误差系统误差粗大误差,测量概论,测量数据的估计和处理,计算方法算术平均值的均方根偏差测量结果的表示方法,今日要点,误差的计算方法,24,例 有一组测量值237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4，求：测量结果。,解：,标差估计值残余误差vi，,25,例 有一组测量值237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4，求：测量结果。,解：,标差估计值残余误差vi，,26,例 有一组测量值237.4、237.2、237.9、237.
10、1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4，求：测量结果。,解：,标差估计值残余误差vi，,标准差估计值算术平均值标准差,27,测量结果为：,标准差估计值,算术平均值标准差,比较：,28,系统误差的处理 systematic error,1.从误差根源上消除系统误差,所用传感器、测量仪表或组成元件是否准确可靠；测量方法是否完善。传感器或仪表安装、调整或放置是否正确合理。传感器或仪表工作场所的环境条件是否符合规定条件。测量者的操作是否正确。,系统误差是在一定的测量条件下，测量值中含有固定不变或按一定规律变化的误差。,注意,29,发现系统误差一般比较困难，下面介绍几
11、种发现系统误差的一般方法。,2.系统误差的发现与判别,（1）实验对比法：这种方法是通过改变产生系统误差的条件从而进行不同条件的测量，以发现系统误差。（2）残余误差观察法：这种方法是根据测量值的残余误差的大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形判断有无变化的系统误差。,30,图中把残余误差按测量值先后顺序排列,图（b）可能有周期性系统误差,图（a）残余误差排列后有递减的变值系统误差,31,马利科夫判据:将残余误差前后各半分两组，若“vi前”与“vi后”之差明显不为零，则可能含有线性系统误差。阿贝检验法则:检查残余误差是否偏离正态分布，若偏离，则可能存在变化的系统误差。,（3）准则检查法
12、：已有多种准则供人们检验测量数据中是否含有系统误差。不过这些准则都有一定的适用范围。,32,（1）在测量结果中进行修正：对于已知的系统误差，可以用修正值对测量结果进行修正；对于变值系统误差，设法找出误差的变化规律，用修正公式或修正曲线对测量结果进行修正；对未知系统误差,则按随机误差进行处理。（2）仔细检查仪表，正确调整和安装；（3）防止外界干扰影响。,3.系统误差的消除,33,（4）在测量系统中采用补偿措施找出系统误差的规律，在测量过程中自动消除系统误差。（5）实时反馈修正：应用自动化测量技术实时反馈修正的办法来消除复杂的变化系统误差。,3.系统误差的消除,34,粗大误差的存在及判定准则 pa
13、rasitic error,对重复测得的一组测量值进行数据处理之前，首先应将具有粗大误差的可疑数据找出来加以剔除。,1.3准则,通常把等于3的误差称为极限误差,3准则：如果一组测量数据中某个测量值的残余误差的绝对值|vi|3时，则该测量值为可疑值（坏值），应剔除。,拉依达准则,35,粗大误差的存在判定准则,|vi|Zc时该测量值为可疑值,Zc与测量次数n有关。,2.肖维勒准则,实际应用中Zc 3，弥补了3的不足,36,粗大误差的存在判定准则,|vi|G时该测量值为可疑值。G值与测量次数n、置信概率Pa有关。,3.格莱布斯准则,理论上更加严格,37,例：根据肖维勒准则判断测量中是否存在粗大误差,
14、38,例：根据肖维勒准则判断测量中是否存在粗大误差,39,例：根据肖维勒准则判断测量中是否存在粗大误差,40,例：根据肖维勒准则判断测量中是否存在粗大误差,根据肖维勒准则|vi|Zc,41,例：根据肖维勒准则判断测量中是否存在粗大误差,根据肖维勒准则|vi|Zc,粗大误差,s,s,s,结束了？,42,粗大误差判定总结,|vi|k,拉依达准则：k为常数3肖维勒准则：k与测量次数n有关格莱布斯准则：k与测量次数n、置信概率Pa有关,s是标准差的估计x是测量结果xi的误差估计,注意,43,44,误差的其他分类法 classification,按误差表示方法分类按误差出现的规律分类按使用条件分类按被测
15、量随时间变化的速度分类按误差与被测量的关系分类,+,累计误差,45,最佳测量方案的选择 对于确定的测量任务，为使其测量误差最小，要从多方采取措施，以提高测量精度。选择合理的测量方法。选择合适的测量仪表。选择合适的测量点。对于间接测量，被测量与直接测量值之间有一定的函数关系。,选择合适的函数关系和测量点使各直接测量点的误差合成后为最小。,+,46,1.3 测量系统误差计算方法,前面讲述的内容是等精度测量的问题，即多次重复测量的测量值具有相同的精度,可用同一个均方根偏差值表示,具有相同的可信赖程度。,在科学实验或高精度测量中,为了提高测量的可靠性和精度,往往在不同的测量条件下,用不同的测量仪表、不
16、同的测量方法、不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比,则认为它们是不等精度的测量。,1、不等精度测量的权与误差,computing method,47,“权”的概念,在不等精度测量时,对同一被测量进行m 组测量,得到m 组测量列(进行多次测量的一组数据称为一测量列)的测量结果及其误差,它们不能同等看待。精度高的测量列具有较高的可靠性,将这种可靠性的大小称为“权”。,权用符号 p 表示,有两种计算方法:用各组测量列的测量次数n的比值表示,并取测量次数较小的测量列的权为1,则有,48,用各组测量列的标准差平方的倒数的比值表示，并取误差较大的测量列的权为1。,加 权算术平均值,加权算术平均值标
17、 准 误 差,考虑各测量列 的权的情况,49,2、测量误差的合成,一个测量系统(或传感器)都是由若干部分组成。设各环节为x1,x2,xn，系统总的输入输出关系为 y=f(x1,x2,xn),而各部分又都存在测量误差。,各局部误差对整个测量系统或传感器测量误差的影响，就是误差的合成问题。,误差的合成：已知各环节的误差而求总的误差。误差的分配：确定各环节具有多大误差才能保证总的误差值不超过规定值。,50,（1）系统误差的合成：由前面可知,系统总输出与 各环节之间的函数关系为：y=f(x1,x2,xn)误差可用微分来表示,故其合成表达式为,（2）标准差的合成：设测量系统或传感器有n个环节组成，各部分
18、的均方根偏差为:x1,x2，,xn,则随机误差的合成表达式为,51,若 y=f(x1,x2,xn)为线性函数,即 y=a1x1+a2x2+anxn,(3)总合成误差：设测量系统和传感器的系统误差和随机误差均为相互独立的，则总的合成误差表示为,=y y,52,在组合测量的数据处理、实验曲线拟合方面的重要工具。要获得最可信赖的测量结果，应使各测量值的残余误差平方和最小。,3.最小二乘法的应用,设 检测系统为：,其中：Y为直接测量值,为被测量,53,对系统进行n次测量线性方程组(nm),其中:是被测量 的最可信赖的值，为各次测量结果。设：为带误差的实际直接测量值，,残余误差,54,按最小二乘原理，残
19、余误差平方和为最小，即,根据求极值条件使：,整理后可得最小二乘估计的正规方程：,55,正规方程是一个m元线性方程组，当其系数行列式不为零时，有唯一确定解，由此可解得被测量的估计值：,欲得真值的最佳估计值，应使得各测量值xi的残差vi的平方之和为最小,56,4.用经验公式拟合实验数据 回归分析,在工程实践和科学实验中，经常遇到对于一批实验数据，需要把它们进一步整理成曲线图或经验公式。用经验公式拟合实验数据，工程上把这种方法称为回归分析。,当经验公式为线型函数时称为线性回归分析 y=b0+b1x1+b2x2+bnxn,当独立变量只有一个时，称为一元线性回归 y=b0+bx,57,设有n对测量值(xi,yi)，用直线y=b0+bx拟合,最常用的方法是利用最小二乘法原理，求出方程中 b0，b 的最佳估计值，使各测量数据点与回归直线的偏差平方和为最小。,用最小二乘法求出系数 b0，b,58,重点掌握,各类误差的概念误差的计算方法,绝对误差、相对误差、引用误差基本误差、附加误差、残余误差 随机误差、系统误差、粗大误差极限误差、标准差,判断粗大误差,测量值的表达式均方根偏差(估计)算术平均值的均方根偏差,59,怎样用数学表达式描述误差？测量值的表达式如何书写？如何判断粗大误差？,测量误差,60,作业P26 1-10,11P27 1-13,
