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1、一、复数项无穷级数,二、复变函数项级数,第一节 幂级数,三、小结,复数列及其极限复数项级数的概念及其收敛性的判定,复数函数项级数的概念幂级数及其收敛性,2,一、复数列的极限,1.定义,3,2.复数列收敛的条件,4,下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.,而,解,例1,5,解,所以数列发散.,6,二、复数项(无穷)级数的概念,1.定义,表达式,称为复数项无穷级数.,其最前面 n 项的和,称为级数的部分和.,部分和,7,收敛与发散,说明:,与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:,8,9,2.复数项级数收敛的条件,定理2,说明,复数项级数的审敛问题,实数项级数的审敛问题,(定理2),
2、10,解,所以原级数发散.,课堂练习,11,级数收敛的必要条件,重要结论:,12,不满足必要条件,所以原级数发散.,级数发散;,应进一步判断.,13,3.绝对收敛与条件收敛,定理3,条件收敛.,如果 收敛,那末称级数 为绝对收敛.,定理3说明，绝对收敛的级数本身一定是收敛的；但反过来，,14,证,由于,而,根据实数项正项级数的比较审敛法,知,由定理2可得,证毕,（实数项）正项级数,15,说明,所以,，由正项级数的比较审敛法知,16,都收敛,故原级数收敛.但是级数,条件收敛,所以原级数非绝对收敛,是条件收敛的.,解 因为,例2(1)级数 是否绝对收敛?,(2)级数 是否绝对收敛呢?,17,例3,
3、故原级数收敛,且为绝对收敛.,因为,所以由正项级数的比值判别法知:,解,18,为复变函数项级数.,为该级数前n项的部分和.,设 是定义在区域D上的复变函数列,称,三、复变函数项级数,1.定义,19,S(z)称为该级数在区域D上的和函数.,如果对 级数 收敛,即,则称级数 在 点收敛,且 是级数的和.,如果级数 在D内处处收敛,则称其在,区域D内收敛.此时级数的和是D内的函数,2.收敛概念及和函数,20,这类函数项级数称为幂级数.,或 的特殊情形,函数项级数,三、幂级数,1.定义,21,定理4(Abel定理)若级数 在,处收敛，则当 时,级数 绝对收敛;,若级数 在 处发散，则当 时,级数,发散
4、.,2.幂级数的敛散性,22,收敛圆与收敛半径,(1)级数在复平面内处处绝对收敛.,(2)级数仅在 z=0(即原点处)收敛，除原点外处处发散.,(3)在复平面内既存在使级数发散的点,也存在使级数收敛的点。,由,幂级数 收敛情况有三种:,23,.,.,收敛圆,收敛半径,.,.,设 时,级数收敛;时,级数发散.如图:,24,事实上,幂级数在收敛圆周上敛散性的讨,问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?,以 为中心的圆域.,收敛半径根据前面所述的三种情形,分别,规定为,论比较复杂,没有一般的结论,要对具体级数,进行具体分析.,25,收敛半径的求法,设级数,(比值法)如果,则收敛半径,(根值法)如果,则
5、收敛半径,当 时,收敛半径,当 时,收敛半径,26,解,绝对收敛,且有,在 内,级数,例4 求级数 的和函数与收敛半径.,所以收敛半径,27,例5求下列幂级数的收敛半径：,(1),(2),28,由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此,可得出下面几个性质：,(1)设级数 和 的收敛半径分别,为 和,则在 内,3.幂级数的性质,29,(2)幂级数 的和函数,在收敛圆,内是解析的；且幂级数在其收敛圆内，可以逐项求导和逐项积分。,30,(3)设级数 的收敛半径为 r.,如果在 内,函数 解析,并且,则当 时,31,例6 求 的收敛半径与和函数.,解 因为 所以,当 时,又因为 从而,32,例7 把函数 表示成形如,的幂级数,其中a与b是不相等的复常数.,代数变形,使其分母中出现,凑出,把函数 写成如下的形式:,33,当 即 时,所以,34,三、小结,1.复数项无穷级数,35,非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.,复级数的绝对收敛与条件收敛,如果 收敛,那末称级数 为绝对收敛.,绝对收敛 条件收敛,36,方法1:比值法,方法2:根值法,收敛半径的求法,那末收敛半径,那末收敛半径,2.幂级数,37,幂级数的运算与性质,
