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1、一、复数列的极限,二、级数的概念,第一节 复数项级数与幂级数,三、典型例题,四、幂级数,五、小结与思考,2,一、复数列的极限,1.定义,记作,3,2.复数列收敛的条件,证明思想与过程跟函数极限的证明完全类似，故省略.,4,课堂练习:,下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.,收敛到-1,不收敛,收敛到0,5,二、级数的概念,1.定义,表达式,称为复数项无穷级数.,其最前面 n 项的和,称为级数的部分和.,部分和,6,收敛与发散,说明:,与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:,7,8,2.复数项级数收敛的条件,证,因为,定理二,9,说明,复数项级数的审敛问题,实数项级数的审敛问题,
2、(定理二),10,解,所以原级数发散.,课堂练习,11,必要条件,重要结论:,12,不满足必要条件,所以原级数发散.,级数发散;,应进一步判断.,13,3.绝对收敛与条件收敛,注意,应用正项级数的审敛法则判定.,定理三,14,证,由于,而,根据实数项级数的比较准则,知,15,由定理二可得,证毕,16,非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.,说明,如果 收敛,那末称级数 为绝对收敛.,定义,17,所以,综上:,18,三、典型例题,例1,解,级数满足必要条件,但,19,例2,故原级数收敛,且为绝对收敛.,因为,所以由正项级数的比值判别法知:,解,20,故原级数收敛.,所以原级数非绝对收敛.,例3,
3、解,21,四.幂级数,1.幂级数的概念 设fn(z)(n=1,2,.)为一复变函数序列,其中各项在区域D内有定义.表达式,称为这级数的部分和.,称为复变函数项级数.最前面n项的和,sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z),22,s(z)称为级数,如果对于D内的某一点z0,极限,存在,则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛,而s(z0)称为它的和.如果级数在D内处处收敛,则它的和一定是z的一个函数s(z):,s(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.,的和函数.,23,如果令z-a=z,则(4.2.2)成为,这是(4.2.3)的形式,为了方便,今后常就(4.2.3)讨论,
4、当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时,就得到函数项级数的特殊情形:,这种级数称为幂级数.,24,定理一(阿贝尔Abel定理),z0,x,y,O,25,证,26,27,2.收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种:,iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设z=a(正实数)时,级数收敛,z=b(正实数)时,级数发散.,i)对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.,ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.,2
5、8,蓝色：已知收敛部分，,绿色圆外是发散部分,往里压缩,往外扩张,最终，,称,29,例4 求幂级数,的收敛范围与和函数.解 级数实际上是等比级数,部分和为,30,31,3.收敛半径的求法,定理二(比值法)如果,则收敛半径,中心在 z0 的幂级数也是如此求半径,只是收敛圆域的写法不同而已.,32,解：,故收敛半径,33,4.幂级数的运算和性质 象实变幂级数一样,复变幂级数也能进行有理运算.设,在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.,34,35,更为重要的是代换(复合)运算,这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.,36,37,3)f(z)在收敛圆域内可以逐项积分,即,38,五、小结与思考,通过本课的学习,应了解复数列的极限概念;熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的概念与性质.,39,思考题,40,思考题答案,否.,放映结束，按Esc退出.,41,作业:习题四100页:3(1)(3)题目改为求收敛半径并写出收敛圆域,作业:习题四88页:2(4)3(1)(3)题目改为求收敛半径并写出收敛圆域,新书,
