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1、2023/9/26,常微分方程,3.4 奇 解,2023/9/26,常微分方程,一、包络和奇解,1 包络的定义,定义1：对于给定的一个单参数曲线族：,曲线族(3.23)的包络是指这样的曲线,它本身不包含在,曲线(3.23)中,但过这曲线的每一点有(3.23)中的一条曲线和它在这点相切.,2023/9/26,常微分方程,对于给定的一个单参数曲线族：,其中,为参数.,若存在一条曲线,满足下列条件:,(1),(2)对任意的,存在唯一的,使得,且,与,在,有相同的切线.,则称,为曲线族,的一条包络线,简称为包络.,或定义：,2023/9/26,常微分方程,例如,单参数曲线族：,（其中R是常数，c是参数
2、）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一族圆.如图,R,从图形可见,此曲线族的包络显然为:,2023/9/26,常微分方程,注:并不是每个曲线族都有包络.,例如:单参数曲线族:,(其中c为参数)表示一族同心圆.,如图,从图形可见,此曲线族没有包络.,2023/9/26,常微分方程,问题:对于给定的单参数曲线族:,如何判断它是否有包络?,如果有包络,如何求?,根据定义,假设该单参数曲线族有包络,则对任意的,存在唯一的,使得,于是得到对应关系:,2023/9/26,常微分方程,从而得到二元函数,使得,若,可用参数形式表示为:,记,则,于是,2023/9/26,常微分方程,上任取一个固定点M,则M在某
3、一条曲线,上.,由于,与,在M点有相同的切线,而,与,在M点的切线的斜率,分别为,与,所以,有,从而,由于在,上不同的点也在不同的,上,即,因此,现在,2023/9/26,常微分方程,因此,包络线,任意一点M不仅要满足,而且还要满足,把联立方程组:,中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线,称为曲线族,的c-判别曲线,2023/9/26,常微分方程,2 包络的求法,曲线族(3.23)的包络包含在下列两方程,注:,2023/9/26,常微分方程,解:,记,则,即,2023/9/26,常微分方程,因此c-判别曲线包括两条曲线(3.32)和(3.33),2023/9/26,常微分方程,x,
4、y,O,2023/9/26,常微分方程,例2:,求直线族:,的包络.,这里,是参数,是常数.,解:,记,则,消去参数,得,的c-判别曲线:,经验证,是曲线族,的包络.,如图:,2023/9/26,常微分方程,O,x,y,2023/9/26,常微分方程,3 奇解,定义2:,微分方程的某一解称为奇解,如果在这个解的每一点还有方程的另外一个解存在.,注:一阶微分方程的通解的包络一定是奇解;反之微分方程的奇解(若存在)也是微分方程的包络.,例如:,2023/9/26,常微分方程,2023/9/26,常微分方程,4 奇解的求法,方程,的奇解包含在由方程组,注:,2023/9/26,常微分方程,例3:,求
5、微分方程,的奇解.,解:,从,消去p(实际上p=0),得到p-判别曲线,即,由于方程的通解为:,2023/9/26,常微分方程,三、克莱罗（Clairaut）方程,1 定义3:,形如,的方程，称为克莱罗(Clairaut)方程.,2023/9/26,常微分方程,为求它的解,令,得,经化简,得,2 克莱罗(Clairaut)方程的求解,这是y已解出的一阶微分方程.,2023/9/26,常微分方程,如果,则得到,于是,Clairaut方程的通解为:,如果,它与等式,联立,则得到Clairaut方程的以p为参数的解:,或,其中c为参数.,消去参数p便得方程的一个解.,2023/9/26,常微分方程,结果:,Clairaut方程,的通解,是一直线族,此直线族的包络,或,是Clairaut方程的奇积分曲线,所对应的解是奇解.,如果令,则,因此,求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样.,易验证,此参数曲线恰为通解的包络,2023/9/26,常微分方程,例4:,求解方程,解:,这是Clairaut方程,因而它有通解:,其中,因为,所以,从,中消去参数c,得到原方程的奇解:,2023/9/26,常微分方程,x,y,O,如图:,故,此方程的通解是直线族:,而奇解是通解的包络:,2023/9/26,常微分方程,作业,P99(一)1,4;(二)1;(三),
