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1、2,1.确定性现象和不确定性现象.,2.随机现象:在个别试验中其结果呈现出不确定性,在大量重复试验中其结果又具有统计规律性.,第一章 概率论的基本概念,前 言,3.概率与数理统计的广泛应用.,3,1.随机试验,E1:抛一枚硬币，观察正(H)反(T)面 的情 况.,E2:将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.,E3:将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况.,举例:,我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验称为试验。,E4:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.,E5:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命.,4,随机试验:(1)可在相同的条件下重复试验;(2)每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有
2、可能的结果;(3)一次试验前不能确定会出现哪个结果.,5,2.样本空间与随机事件,(一)样本空间:定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间,记为S.样本空间的元素称为样本点，用表示.,样本空间的分类:,1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个.例 E1,E2等.,2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值.例 灯泡的寿命t|t0.,6,(二)随机事件,定义 样本空间S的子集称为随机事件,简称事件.在一次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.,基本事件:,复合事件:,必然事件:,不可能事件：,由一个样本点组成的单点集.如:H,T.,由两个或两个以上的基本
3、事件复合而成的事件为复合事件.如:E3中出现正面次数为奇数.,样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。,空集不包含任何样本点,它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。,7,例1.试确定试验E2中样本空间,样本点的个数,并给出如下事件的元素:事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.,8,（三）事件间的关系与事件的运算,1.包含关系和相等关系:,若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记作AB.若A B且A B,即A=B,则称A与B相等.,9,2.和事件:,3.积事件：事件A B=x|x A 且 x B称A与B
4、的积，即事件A与B同时发生.A B 可简记为AB.,类似地,事件 为可列个事件A1,A2,.的积事件.,10,4.差事件:事件A-B=x|xA且xB 称为A与B的差.当且仅当A发生,B不发生时事件A-B发生.即:,显然:A-A=,A-=A,A-S=,11,5.事件的互不相容(互斥):,12,6.对立事件(逆事件)：,13,7.事件的运算律:,交换律:,结合律:,对偶律:,分配律:,14,例.甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：,15,3.概率的概念,一.古典定义：,等可能概型的两个特点:,例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.,(1)样
5、本空间中的元素只有有限个;,(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.,概率的古典定义:对于古典概型,样本空间S1,2,n,设事件A包含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为,16,古典概型概率的计算步骤:,(1)选取适当的样本空间S,使它满足有限等可能的要求,且把事件A表示成S的某个子集.,(2)计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.,(3)用下列公式计算:,17,例1.袋中装有4只白球和2只红球.从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式:(a)放回抽样;(b)不放回抽样.求:(1)两球颜色相同的概率;(2)两球中至少有一只白球的概率.,例2.设一袋中有编号为1,2,9的球共9只,现从中
6、任取3只,试求:(1)取到1号球的概率,（事件A）(2)最小号码为5的概率.（事件B）,18,例3.某接待站在某一周曾接待过12次来访,且都是在周二和周四来访.问是否可以推断接待时间是有规定的?,19,二、几何定义:,定义,20,定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量(长度,面积,体积)相同的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为,说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率.,21,例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间 t(tT)后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且
7、两人到达的时刻互不相关.求甲、乙两人能会面的概率.,会面问题,22,蒲丰投针试验,例21777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离为a(0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为l(a)的针,试求针与任一平行直线相交的概率.,23,几何概型的概率的性质,(1)对任一事件A,有,24,三.统计定义:,(一)频率 1.在相同的条件下,共进行了n次试验,事件A发生的次数nA,称为A的频数,nA/n称为事件A发生的频率,记为fn(A).,3.频率的特性:波动性和稳定性.,25,1.定义:设S是样本空间,E是随机试验.对于E的每个事件A对应一个实数P(A),称为事件
8、 A的概率,其中集合函数P(.)满足下列条件:,(1)对任一事件A,有P(A)0;(非负性）,(2)P(S)=1;（规范性),(3)设A1,A2,是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2)=P(A1)+P(A2)+(可列可加性),四.概率公理化定义:,26,2.概率的性质：,一般地有:P(B-A)=P(B)-P(AB).,27,推广,28,例4.设P(A)=p,P(B)=q,P(AB)=r,用p,q,r表示下列事件的概率:,29,5.条件概率,(一)条件概率:设试验E的样本空间为S,A,B是事件,要考虑在A已经发生的条件下B发生的概率,这就是条件概率问题.,例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,
9、已知老大是女孩，求另两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).,30,2.性质:条件概率符合概率定义中的三个条件,即,此外,条件概率具有无条件概率类似性质.例如：,31,注,当AS时,P(BS)=P(B),条件概率化为无条件概率,因此无条件概率可看成条件概率.,计算条件概率有两种方法:,1.公式法：,32,2.缩减样本空间法：在A发生的前提下,确定B的缩减样本空间,并在其中计算B发生的概率,从而得到P(B|A).,例2.在1,2,3,4,5这5个数码中,每次取一个数码,取后不放回,连取两次,求在第1次取到偶数的条件下,第2次取到奇数的概率.,33,(二)乘法公式:,P(AB)0,则有
10、P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).,推广,34,35,(三)全概率公式和贝叶斯公式:,1.样本空间的划分,注,(1)若B1,B2,Bn是样本空间S的一个划分,则每次试验中,事件B1,B2,Bn 中必有一个且仅有一个发生.,36,2.全概率公式:,称为全概率公式.,3.贝叶斯公式:,37,例4.某电子设备厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的,数据如下:元件制造厂 次品率 提供的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05(1)任取一只晶体管,求它是次品的概率.(2)任取一只,若它是次品,则由三家工厂 生产的概率分别是多少?,38,例5.对以往数据
11、分析结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,其合格率为30%,每天早晨机器开动时机器调整良好的概率为75%,试求已知某日早上第一件产品是合格品时,机器调整得良好的概率是多少?,39,1.6 独立性,设A,B是试验E的两事件,当P(A)0,可以定义P(B|A).,一般地,P(B|A)P(B),但当A的发生对B的发生的概率没有影响时,有P(B|A)=P(B),由乘法公式有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).,例如 设试验E为掷甲、乙两枚硬币，观察正反面出现情况.设A“甲币出现H”,B“乙币出现H”,试求:B发生的条件下，A发生的概率；A发生的概
12、率.,1.定义:设A,B是两事件,如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B是相互独立的事件.,40,由定义可知:,1)零概率事件与任何事件都是相互独立的.,2)由对称性,A,B相互独立,必有B,A 相互独立.,如果对于任意的k(kn),任意的1i1i2ikn都有:P(Ai1Ai2Aik)=P(Ai1)P(Ai2)P(Aik),则称这n个事件相互独立.,41,3.定理:设A,B是两事件,且P(A)0,则A,B相互独立 的充要条件是:P(B|A)=P(B).,有关结论:,42,三.利用独立性计算古典概率:,1.计算相互独立的积事件的概率：若已知n个事件A1,A2,An相互独立
13、，则 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An),2.计算相互独立事件的和的概率：若已知n个事件A1,A2,An相互独立，则,例1.两架飞机依次轮番对同一目标投弹,每次投下一颗炸弹,每架飞机各带3颗炸弹,第1架扔一颗炸弹击中目标的概率为0.3,第2架的概率为0.4,求炸弹未完全耗尽而击中目标的概率。,43,44,45,第一章 习题课,一、主要内容:,样本空间,随机事件,概率定义及性质,古典概型,条件概率,全概率公式,Bayes公式,事件的独立性,46,二、课堂练习:,1.选择题:(1)当事件A与B同时发生,事件C必发生,则有()(A)P(C)=P(AB)(B)P(C)=P(AB)(C)
14、P(C)P(A)+P(B)-1(D)P(C)P(A)+P(B)-1,47,2.填空题：,(2)设两个事件A,B相互独立,A,B都不发生的概率为1/9,A发生而B不发生的概率与B发生而A不发生的概率相等,则P(A)=_.,3.计算题：,48,设甲箱中有a只白球，b只黑球，乙箱中有c只白球，d只黑球，从甲箱中任取一球放入乙箱中，然后从乙箱中任取一球，试求从乙箱中取得白球的概率。有n个不同(可辨别)的球，每个球都以同样的概率1/N被投到N(nN)个箱子中的每一箱中，试求下列事件的概率：(1)某指定的n个箱子中各一球(A)(2)恰有n个箱，其中各有一球(B)(3)某指定箱中恰有m(m n)个球(C)(
15、4)恰有k个箱子，其中有m个球(D).3.在一个盒子中混有新旧两种乒乓球，新的有白球40个，红球30个，旧球中有白球20个，红球10个，在这个盒子中任取一球，发现是新的，求这个球是白球的概率.,49,第二章 随机变量及其分布,2.1 随机变量,即X(e)是定义在样本空间S上的一个实函数,对于不同的试验结果e,X取不同的值,由于试验前不能预料e的取值,因而X取1还是取0也是随机的,故称X(e)为随机变量。,50,1.定义:设随机试验E的样本空间是S=e,若对于每一个eS,有一个实数X(e)与之对应,即X(e)是定义在S上的单值实函数，称为随机变量。简记为r.v.,注,(1)可用随机变量X描述事件
16、.,反过来,X的一个变化范围表示一个随机事件:“2X5”表示事件“掷出的点数大于2且小于5”.,51,2.分类：,(2)随机变量随着试验的结果而取不同的值,在试验之前不能确切知道它取什么值,但是随机变量的取值有一定的统计规律性概率分布.,(1)离散型随机变量;,(2)非离散型随机变量,10 连续型随机变量,20 奇异型随机变量,若随机变量全部可能取到的值是有限多个或可列无限多个。,52,2.2 离散型随机变量的概率分布,53,2.求分布律的步骤:(1)明确X的一切可能取值;(2)利用概率的计算方法计算X取各个确定值的概率,即可写出X的分布律.,例1.设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯
17、,每盏信号灯以概率p禁止汽车通过,以X表示汽车首次停下时已通过信号灯的盏数,求X的分布律.(设各信号灯的工作是相互独立的).,例2.袋中装有4只红球和2只白球,从袋中不放回地逐一地摸球,直到第一次摸出红球为止,设X表示到第一次摸出红球时所摸的次数,求X的分布律.,54,3.几种重要的离散型r.v.的分布律：,(一)0-1分布,(二)贝努利试验(二项分布),55,例1.设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数,成功的概率为p,则X是一个随机变量,我们来求它的分布律.若n=4,求:PX=k，k=0,1,2,3,4.,当n=1时,PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1,即为0-1分布.,注,56,
18、例2.某种电子元件的使用寿命超过1500小时为一级品,已知一大批该产品的一级品率为0.2,从中随机抽查20只,求这20只元件中一级品只数X的分布律.,例3.某人进行射击,每次命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率.,57,(三)泊松分布(Poisson),(2)泊松分布有很多应用.,注,(3)二项分布与泊松分布之间的关系.,58,泊松(Poisson)定理：,泊松定理的意义：,1.在定理的条件下,二项分布的极限分布是泊松分布.,2.当n很大且 p又较小时,59,例5.设有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,设一台设备的故障由一个人处理,问至
19、少需配备多少工人,才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?,60,(四)几何分布,例 设某种社会定期发行的奖券,每券1元,中奖率为p,某人每次购买1张奖券,如果没有中奖下次继续再买1张,直到中奖止,求购买次数X的分布律.,若该人共准备购买10次共10元钱,即如果中奖就停止,否则下次再购买1张,直到10元共花完为止,求购买次数Y的分布律.,61,3 随机变量的分布函数,1.定义：设r.v.X,xR1,则 F(x)=P Xx 称为X的分布函数.,(2)无论是离散型r.v.还是非离散型r.v.,分布函数都可以描述其统计规律性.,注,2.性质:,(1)F(x)是单调不减函数.,x2x1
20、,F(x2)-F(x1)=Px1Xx2 0.,(2)0F(x)1,F(-)=0,F(+)=1.,(3)F(x)至多有可列个间断点,而在其间断点 上也是右连续的,F(x+0)=F(x).,62,结论,反之，若已知分布函数求分布律用如下公式求解：,63,64,4.连续型随机变量的概率密度,则称X为连续型r.v.f(x)称为X概率密度函数,简称概率密度.,65,例1.一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能击中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求X的分布函数.,66,定义,3.关于连续型r.v.的一个重要结论:,定理:设X为连续型r.v.它取任
21、一指定的实数值a的概率均为0.即PX=a=0.,67,4.几个常用的连续型r.v.分布,(一)均匀分布:,则称随机变量X在(a,b)上服从均匀分布,记作XU(a,b).,分布函数为:,68,(二)正态分布:,69,性质:,(2)标准正态分布:,70,引理:,结论,71,例 设某商店出售的白糖每包的标准全是500克,设每包重量X(以克计)是随机变量,XN(500,25),求:(1)随机抽查一包,其重量大于510克的概率;(2)随机抽查一包,其重量与标准重量之差的绝对值在8克之内的概率;(3 求常数c,使每包的重量小于c的概率为0.05.,注,(1)由(x)=0.05怎样查表求x的值?,(2)服从
22、正态分布N(,2)的r.v.X之值基本上落入-2,+2之内,几乎全部落入-3,+3内.特别强调N(0,1)的情况在计算中的应用.,72,(3)标准正态分布的上分位点:,73,(三)负指数分布:,74,(四)伽玛分布:,75,5.随机变量的函数的分布,一、X为离散型r.v.,76,(2)若g(x1),g(x2),中不是互不相等的,则应将那些相等的值分别合并,并根据概率加法公式把相应的pi相加,就得到了Y的概率分布律.,77,二、X为连续型r.v.,78,79,(1)若f(x)在有限区间a,b以外等于零,则只需假设在a,b上g(x)严格单调,选取=min(g(a),g(b),=max(g(a),g
23、(b).,2.公式法：定理:设X是连续型r.v.,具有概率密度f(x),设y=g(x)是x的严格单调函数,且反函数x=h(y)具有连续的导函数.当g(x)严格增加时,记=g(-),=g(+);当g(x)严格减少时,记=g(+),=g(-),则Y的概率密度为:,说明,(2)定理中条件y=g(x)是X的严格单调函数是相当苛刻的,许多常见的函数都不能满足,因此,求随机变量的函数的分布时,只能按“分布函数法”直接求解.,80,例4.r.v.XN(,2),证明X的线性函数Y=aX+b(a0)也服从正态分布.,81,第二章 习题课,一.主要内容,二.课堂练习,1.甲，乙两名篮球队员独立地轮流投篮，直到某人
24、投中为止，今设甲投中的概率为0.4,乙投中的概率为0.6,求甲队员投篮次数的分布律(设甲先投).,82,83,第三章 多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,1.二维r.v.定义:设E是一个随机试验,样本空间是 S=e,设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的r.v.,由它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维r.v.,2.二维r.v.(联合)分布函数:,84,若将(X,Y)看成平面上随机点的坐标,则分布函数F(x,y)的值为(X,Y)落在阴影部分的概率(如图1),图1,图2,二维r.v.的分布函数的基本性质与一维r.v.的分布函数F(x)的性质类似,此处从略.,85,3.下面分别讨论二维离散
25、型和连续型r.v.,(一)二维离散型r.v.,86,例1.设r.v.X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,r.v.Y则在1X中等可能地取一整数,试求(X,Y)的分布律.,结论,87,(二)二维连续型r.v.,88,二维连续型r.v.(X,Y)落在平面G上概率,就等于密度函数f(x,y)在G上的积分,这就将概率的计算转化为一个二重积分的计算了.,注,89,2.边缘分布,一、边缘分布函数：,二、边缘分布律：,90,91,三、边缘概率密度:,92,93,3.条件分布,一、二维离散型r.v.的情况:,94,95,例2 一射击手进行射击,击中目标的概率为p(0p1),射击到击中目标两次为止,设以X表
26、示首次击中目标进行的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数,试求X和Y的联合分布律和条件分布律.,96,二、二维连续型r.v.,首先引入条件分布函数,然后得到条件概率密度.,97,进一步可以化为:,98,例3.设数X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0 x1)时,数Y在区间(x,1)上随机地取值,求Y的概率密度.,99,4.相互独立的随机变量,1.定义:,2.等价定义:,100,例:设X和Y都服从参数=1的指数分布且相互独立,试求PX+Y1.,3.命题：设(X,Y)服从二维正态分布,则X,Y相互独立的充要条件是=0.,4.一个重要定理:,设(X1,X2,Xm)和(Y1,Y2,Yn)相
27、互独立,则Xi(i=1,2,m)和Yj(j=1,2,n)相互独立,又若h,g是连续函数,则h(x)和g(y)相互独立.,101,5.两个r.v.的函数的分布,(一)和(Z=X+Y)的分布:,已知(X,Y)的联合密度是f(x,y),求Z=X+Y的分布密度.,结论,102,例1.设X和Y相互独立,且都服从N(0,1),求:Z=X+Y的分布密度.,注,结论:,103,(二)M=max(X,Y)及m=min(X,Y)的分布:,设X,Y相互独立,分布函数分别为FX(x)和FY(y).求M=max(X,Y)的分布:,104,(三)利用“分布函数法”导出两r.v.和的分布函数或密度函数的公式,其要点为:,1
28、05,(四)对于离散型r.v.的函数的分布:,设X,Y是离散型r.v.且相互独立,其分布律分别为:PX=i=pi,i=0,1,2,3,PY=j=qj,j=0,1,2,3,求Z=X+Y的分布律.,例 设X,Y是相互独立的r.v.,分别服从参数为1,2的泊松分布,试证明Z=X+Y也服从泊松分布.,106,第三章 习题课,一.主要内容：,(1)二维r.v.的分布函数,离散型r.v.的联合 分布,连续型r.v.的联合概率密度.,(2)边缘分布函数;边缘分布律;边缘概率密度.,(3)条件分布律;条件概率密度.,(4)随机变量的相互独立.,(5)两个r.v.函数的分布.,二.课堂练习：,107,1.设某人
29、从1,2,3,4四个数中依次取出两个数,记X为第一次所取出的数,Y为第二次所取出的数,若第一次取后不放回,求X和Y的联合分布律.,108,109,第四章 随机变量的数字特征,1.随机变量的数学期望,一.问题引入：,例：某车间生产某种产品，检验员每天随机地抽取n件产品作检验，查出的废品数是一个随机变量，它的可能取值为0,1,n.设检验员共查了N天，出现废品为0,1,2,n的天数分别为m0,m1,mn,问天出现的废品的平均值为多少？,110,111,112,3.随机变量函数的数学期望公式:,113,1.在已知Y是X的连续函数前提下,当我们求E(Y)时不必知道Y的分布,只需知道X的分布就可以了.,2
30、.上述定理可以推广到多维r.v.函数.,说明,114,4.均值的性质:,(1)E(c)=c;(c为常数),(2)E(cX)=cE(X);(c为常数),(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);,(4)设X,Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y);,(5)|E(XY)|2E(X2)E(Y2).(许瓦尔兹不等式),例3.设商店经销某种商品的每周需求量X服从区间10，30上的均匀分布，而进货量为区间10，30中的某一个整数，商店每售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则从外部调剂供应，此时每售出一单位商品仅获利300元，求此商店经销这种商品每
31、周进货量为多少，可使获利的期望不少于9280元,115,例.二项分布的均值的计算.,将X分解成数个r.v.之和,然后利用r.v.和的数学期望等于r.v.的数学期望之和来求解.这个方法具有一定的普遍意义.,说明,116,2.方差,一.定义：,117,若X为离散型r.v.其分布律为PX=xk=pk,k=1,2,则,118,例1.设随机变量X具有(0-1)分布,其分布律 为 PX=0=1-p,PX=1=p,求:D(X).,119,二、方差的性质及切比雪夫不等式：,1.性质:,10 设C是常数,则D(C)=0;,20 设X是r.v.,C是常数,则有 D(CX)=C2D(X);,30 设X,Y是两个相互
32、独立的随机变量,则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y);,40 D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C,即 PX=C=1.,120,2.切比雪夫不等式:,121,3.几种重要r.v.的数学期望及方差,1.一些常用的离散型r.v.的均值及方差的计算:,10 0-1分布:(参见例1).,122,2.一些常用的连续型r.v.的均值及方差的计算:,123,4.协方差和相关系数,124,(i)XY是一个无量纲的量.,(ii)Var(X)=XX.,(iii)对于任意的两个和Y,有 D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).,(iv)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,注,125,
33、(二)协方差的性质:,10 Cov(X,Y)=Cov(Y,X);,20 Cov(a1X+b1,a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y),其 中a1,a2,b1,b2是常数;,30 Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);,40|Cov(X,Y)|2D(X)D(Y);,50 若X,Y相互独立,则Cov(X,Y)=0.,126,(三)相关系数的性质:,127,定义:若随机变量X与Y的相关系数XY=0,则称X与Y不相关.,对于随机变量X和Y,下列事实等价:(1)Cov(X,Y)=0;X与Y不相关;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=DX+DY.,128,相关系数XY
34、刻划了X,Y之间的线性相关关系,当XY=0时,X,Y不相关指它们之间没有线性相关关系,而不是说它们之间没有任何关系.,说明,129,设(X,Y)服从二维正态分布,则X,Y相互独立的充要条件是=0.知X与Y不相关与X和Y相互独立是等价的.,结论,130,5.矩、协方差矩阵,一.定义:设X和Y是随机变量,显然,E(X),E(Y)为一阶原点矩,D(X),D(Y)为二阶中心矩,XY为二阶中心混合矩.,(1)若E(Xk),k=1,2,存在,则称它为X的k阶原点矩.,(2)若EX-E(X)k,k=1,2,存在,则称它为X的k阶中心矩.,(3)若EXkYl,k,l=1,2,存在,则称它为X和Y的k+l阶混合
35、矩.,(4)若EX-E(X)kY-E(Y)l,k,l=1,2,存在,则称它为X和Y的k+l阶中心混合矩.,131,132,三.协方差阵的性质:,10 C是对称的;(由协方差的性质Cov(X,Y)=Cov(Y,X),ij=ji可得),20 ii=D(Xi),i=1,2,3,n.,30 ij2 ii jj,i,j=1,2,n.(由许瓦尔兹不等式可得),40 C是非负定的,即对任意的n维向量 a=(a1,a2,an)T,都有aTCa0.,|E(XY)|2E(X2)E(Y2).(许瓦尔兹不等式),133,四.n维正态变量:,134,2.性质:,20 n维r.v.(X1,X2,Xn)服从n维正态分布的的
36、充要条件是X1,X2,Xn的任一线性组合l1X1+l2X2+ln Xn服从一维正态分布.,30若(X1,X2,Xn)服从n维正态分布,设Y1,Y2,Yn是Xj(j=1,2,n)的线性函数,则(Y1,Y2,Yn)也服从多维正态分布.,40 若(X1,X2,Xn)服从n维正态分布,则“X1,X2,Xn”相互独立与“X1,X2,Xn”两两不相关是等价的.,10 n维r.v.(X1,X2,Xn)的每一个分量Xi,i=1,2,n都是正态分布；反之，若X1,X2,Xn的都是正态分量,且相互独立，则(X1,X2,Xn)服从n维正态分布.,135,136,第四章 习题课,一.主要内容:,1.随机变量 的数学期
37、望；函数的数学期望；性质.,2.方差定义;性质;,3.几类常见分布的数学期望，方差.,5.相关系数的定义;性质.,4.协方差定义;性质.,6.几类矩的定义.,二.课堂练习:,137,1.一台设备由三大部件构成,在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.1,0.2和0.3,假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的数学期望和方差.,138,139,第五章 大数定律及中心极限定理,1.大数定律,一.问题的提出:,提法一:当n足够大时,频率 与概率p有较大偏差的概率很小.用数学语言来讲,就是要证明:对于任意0,140,提法二:强大数定律,即证明：,1.切比雪夫大数定律的特殊情况
38、,设r.v.X1,X2,Xn,相互独立,且具有相同的数学期望和方差:,141,性质:,142,143,2.中心极限定理,一.问题提出:,对于独立随机变量序列1,2,n,假定Ei,Di存在,令,144,1.独立同分布的中心极限定理:,设 r.v.Xk(k=1,2,)相互独立,服从同一分布(i.i.d.)且具有有限的数学期望和方差:,145,2.李雅普诺夫定理:,146,3.德莫佛-拉普拉斯定理:,147,例2.设某车间有200台车床,每台车床由于种种原因出现停车,且每台车床开车的概率为0.6,假定每台车床停或开车是相互独立的.若每台车床开车时需消耗1000W电能,问要以99.9%的概率保证这个车
39、间不致因供电不足而影响生产，需供应多少电能？,148,练习:1.抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受，问应检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不能被接受的概率达到0.9?(147个)2.一个复杂的系统，由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠度为0.9，且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠度为0.95?(25个)3.设某电话总机要为2000个用户服务，在最忙时，平均每户有3%的时间占线，假设各户是否打电话是相互独立的，问若想以99%的可能性满足用户的要求，最少需要多少条线路？(79条),149,第六章 样本及
40、抽样分布,1.随机样本,一.定义:在统计学中,我们把所研究的全部元素组成的集合称作母体或总体,总体中的每一个元素称为个体.(可分为有限总体和无限总体).,二.定义:设X是具有分布函数F的r.v.,若X1,X2,Xn是具有同一分布函数F的相互独立的r.v.,则称为从分布函数F(或总体F或总体X)得到的容量为n的简单随机样本,简称样本,它们的观察值x1,x2,xn称为样本值,又称为X的n个独立的观察值.,150,结论,151,2.抽样分布,一.定义:设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本,又设g(X1,X2,Xn)是一个连续函数,如果g中不含有未知参数,则称g(X1,X2,Xn)为统计量.,15
41、2,二.常用的统计量:,153,定义：统计量是样本的函数,它是一个随机变量.统计量的分布称为抽样分布.,注,结论,154,三.几种常用的统计分布:,2.分布与2(n)分布的关系：,155,注,3.2(n)分布的性质：,156,157,(二)t-分布:,说明,158,注,159,(四)F分布:,160,161,例题,0.1,162,四.正态总体样本的均值与样本方差的分布:,结论,重要定理,163,164,第七章 参数估计,1.点估计,一.问题的提法:,165,二.矩估计法:,166,样本矩Ak依概率收敛于相应的总体矩,而样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数.,依据,167,三.极大
42、似然估计方法:,说明,168,理论依据,169,极大似然估计的求解方法:,170,例2.设X服从a,b区间上的均匀分布,求a和 b的极大似然估计和矩估计量.,极大似然估计的性质:,171,2.估计量的评选标准,1 无偏性:,(2)例子,S2是D(X)的无偏估计量.,(3)有偏估计向无偏估计的转化：-一般化方法。,172,2有效性:,173,3一致性:,结论,切比雪夫不等式，大数定律,174,3.区间估计,一.问题引入:,1.定义:,175,说明,1.置信区间的直观含义.,176,二.求置信区间的一般思路:,1.设法构造一个随机变量Z=Z(X1,X2,Xn;),除参数 外,Z不包含其他任何未知参
43、数,Z的分布 已知(或可求 出),并且不依赖于参数,也不依赖于 其他任何未知参 数.,177,4.正态总体均值与方差的区间估计,一.单个正态总体的均值与方差的区间估计:,178,二.两个正态总体的区间估计:,179,180,三.两个总体方差比的置信区间:,181,5.(0-1)分布参数的区间估计,例 设自一大批产品的100个样品中,得一级品60个,求这批产品的一级品率p的置信度为0.95的置信区间.,182,6.单侧置信区间,1.定义:,183,第八章 假设检验,1.假设检验,一.基本思想:,例1.某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装糖重是一个随机变量,它服从正态分布.当机器正常时,其均值
44、为0.5公斤,标准差为0.015公斤.某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取它所包装的9袋,称得净重为(公斤)0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512问机器是否正常?,184,假设检验所采用的方法是一种反正法:先假设结论成立,然后在这个结论成立的条件下进行推导和运算,如果得到矛盾,则推翻原来的假设,结论不成立,这 里的矛盾是与实际推断原理的矛盾,即如果“小概率事件在一次试验中发生了”,则认为原假设不成立,因此,假设检验是一种带有概率性质的反证法.,基本思想,二.基本概念与术语:,1.称给定的(0 1)为显著性水平.,185,
45、说明,186,5.假设检验的一般步骤：,187,三.假设检验的两类错误:,1.第一类错误:如果原假设H0成立,而观察值落入拒绝域,从而作出拒绝H0的结论,称作第一类错误,又称“弃真”的错误.由定义知,显著性水平恰好是犯第一类错误的概率.,2.第二类错误:如果原假设H0不成立,而观察值未落入拒绝域,从而作出接受H0的结论,称作第二类错误,又称“取伪”的错误,通常记作.,188,四.双边假设检验和单边假设检验:,189,190,2 正态总体均值的假设检验,一.已知2,检验:,二.未知2,检验:,191,例1.某种电子产品的寿命x(以小时记)服从正态分布,2均未知,现测得16只元件的寿命如下:159
46、 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问：是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时?,192,例2.某种元件的电阻值长期以来服从 分布.现从一批这种电子元件中随机抽取25个，测得平均电阻值，均方差,问：在 下能否认为这批电子元件的电阻均值有显著变化？,193,三.两个正态总体均值差的检验(t-检验):,2.对于12,22已知时,可用“u-检验方法”检验.,194,例2.在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率,试验是在同一只平炉上进行的.每炼一炉钢时除操作方法外,其它条件都尽可能做到相同
47、.先用标准方法炼一炉,然后手建议的方法炼一炉,以后交替进行,各炼了10炉,其得率分别为:标准方法:78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3新方法:79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1设这两个样本相互独立,且分别来自正态总体N(1,2)和N(2,2),1,2,2均未知.问建议的新的操作方法能否提高得率?,195,四.基于成对数据的检验(t-检验):,设X和Y是两个正态总体,均值分别为1和2.X和Y不是相互独立的,取成对样本:(X1,Y1),(X2,Y2),(Xn,Yn).,要检
48、验H0:1=2,H1:1 2.,例3 有两台光谱仪Ix,Iy用来测量材料中某种金属的含量,为鉴定它们的测量结果有无显著的差异,制备了9件试块(它们的成份,金属含量,均匀性等均各不相同),现在分别用这两台仪器对每一试块测量一次,得到9对观察值如下:x(%)0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 y(%)0.10 0.21 0.52 0.32 0.78 0.59 0.68 0.77 0.89问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异？,196,3.正态总体方差的假设检验,(一)单个总体的情况:,例1.某厂生产的某种型号的电池,其寿命长期以来服从方差
49、2=5000(小时2)的正态分布,现有一批这种电池,从它的生产情况来看,寿命的波动性有所改变.现随机取26只电池,测得其寿命样本方差为s2=9200(小时2).问根据这一数据能否推断这批电池寿命的波动性较以往的有显著的变化(取=0.02)?,197,(二)两个总体的情况:,说明,198,例2.在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率,试验是在同一只平炉上进行的.每炼一炉钢时除操作方法外,其它条件都尽可能做到相同.先用标准方法炼一炉,然后手建议的方法炼一炉,以后交替进行,各炼了10炉,其得率分别为:标准方法:78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3新方法:79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1设这两个样本相互独立,且分别来自正态总体N(1,12)和N(2,22),1,2,12,22均未知.试对数据检验假设(=0.01),H0:12=22,H1:1222.,199,总 复 习,一.主要内容：,二.考前答疑：,三.考试时间：,
