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1、第15章 电路方程的矩阵形式,重点,关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩 阵和基本割集矩阵的概念 回路电流方程、结点电压方程和割 集电压方程的矩阵形式,15.1 割集,一、割集Q,连通图G中的一个割集Q是G的一个支路集合，具有下述性质：把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。,割集：(1 9 6)(2 8 9)(3 6 8)(4 6 7)(5 7 8),(3 6 5 8 7),(3 6 2 8)是割集吗？,问题,确定割集的方法：一般可以用在连通图上作闭合面的方法判断或确定一个割集。如果在G上作一个闭合面，使其包围G的某些结点，与此闭合面相切割的所有支路便构成一个
2、割集。,(3 6 8),割集：(1 9 6),(4 6 7),二、基本割集,只含有一个树支的割集。又称为单树支割集。割集数为n-1,连支集合不能构成割集。,下 页,上 页,注意,属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。当一个割集的所有支路都连接在同一个结点上，则割集的KCL方程变为结点上的KCL方程。,返 回,下 页,上 页,返 回,独立割集：能够列出一组独立的KCL方程的 割集。往往以基本割集作为独立割集。基本割集是独立割集，但独立割集不一定是单树支（基本）割集。,15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,有向图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式
3、：,一、图的矩阵表示,表示支路和结点关联性质的矩阵,2.关联矩阵A,用以描述结点和支路的关联性质的矩阵。n个结点b条支路的图用nb的矩阵描述：,每一行对应一个结点，每一列对应一条支路。,矩阵Aa的每一个元素定义为：,注意,ajk=1 支路 k 与结点 j 关联，方向背离结点；,ajk=-1 支路 k 与结点 j 关联，方向指向结点；,ajk=0 支路 k 与结点 j 无关。,下 页,上 页,例,特点,每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，Aa的每一列元素之和为零。,-1-1 1 0 0 0,0 0-1-1 0 1,1 0 0 1 1 0,0 1 0 0-1-1,矩阵中任一行可以从其他
4、n-1行中导出，即只有n-1行是独立的。,返 回,降阶关联矩阵A,特点,A的某些列只具有一个+1或一个1，这样的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去的行对应的结点可以当作参考结点。,关联矩阵A的作用,用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程；,设:,以结点为参考结点,n-1个独立方程,矩阵形式的KCL:A i=0,下 页,上 页,用矩阵AT表示矩阵形式的KVL方程。,设:,返 回,例：已知网络的结点支路关联矩阵为,画出此网络的有向图。,4 5 6 7 8,2.回路矩阵B,独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。,注意,每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路。,矩阵B的每一个元素定义为
5、：,1 支路 j 在回路 i 中，且方向一致；,-1 支路 j 在回路 i中，且方向相反；,0 支路 j 不在回路 i 中。,下 页,上 页,例,取网孔为独立回路，顺时针方向,基本回路矩阵Bf,若选取一个树的单连支回路作为独立回路组，对应回路矩阵称基本回路矩阵Bf,返 回,支路排列顺序为先连支后树支，回路顺序与连支顺序一致。,下 页,上 页,连支电流方向为回路电流方向；,规定,例,选 2、5、6为树，连支顺序为1、3、4。,=1 Bt,返 回,先连支 后树支,下 页,上 页,回路矩阵B的作用,用回路矩阵B表示矩阵形式的KVL方程；,设,l个独立KVL方程,矩阵形式的KVL：B u=0,返 回,
6、设：,用回路矩阵BT表示矩阵形式的KCL方程,独立回路电流,矩阵形式的KCL：B T il=i,3.基本割集矩阵Qf,割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这里主要指基本割集矩阵。,注意,每一行对应一个基本割集,每一列对应一条支路.,矩阵Q的每一个元素定义为：,1 支路 j 在割集 i 中，且与割集方向一致；,-1 支路 j 在割集 i中，且与割集方向相反；,0 支路 j 不在割集 i 中。,下 页,上 页,规定,割集方向为树支方向；支路排列顺序先树支后连支；割集顺序与树支次序一致。,基本割集矩阵Qf,例,选 1、2、3支路为树,Q1:1,4,5 Q2:2,5,6 Q3:3,4,6,返 回,
7、下 页,上 页,返 回,先树支 后连支,Q1:1,4,5 Q2:2,5,6 Q3:3,4,6,Q1,矩阵形式的KCL：Qf i=0,下 页,上 页,Qf i=,n-1个独立KCL方程,返 回,基本割集矩阵Qf的作用,用基本割集矩阵Qf表示矩阵形式的KCL方程。,设,设树枝电压（或基本割集电压）：,ut=u1 u2 u3 T,用QfT表示矩阵形式的KVL方程,矩阵形式的KVL：Qf Tut=u,下 页,上 页,返 回,小结,A i=0,B T il=i,Bu=0,Qfi=0,QT ut=u,例：已知网络的结点支路关联矩阵为,1、画出此网络的有向图。2、选择一个树，使与此树相应的基本割集矩阵Q=A
8、3、列出与此树相应的B。,15.4 回路电流方程的矩阵形式,反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。,一、复合支路,规定标准支路,为了方便列矩阵方程，需要先定义支路的模式，故引入复合支路的概念。,复合支路特点,支路的独立电压源和独立电流源的方向与支路电压、电流的方向相反；,支路电压与支路电流的方向关联；,支路的阻抗（或导纳）只能是单一的电阻、电容、电感，而不能是它们的组合。,复合支路定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。（可含有耦合关系或受控源）。,注意,+,-,Zk(Yk)=0,2.支路阻抗矩阵形式,电路中电感之间无耦合,如有b条
9、支路，则有：,Zk,+,-,+,-,设,Z=diagZ1 Z2Zb,支路电流列向量,支路电压列向量,电压源的电压列向量,电流源的电流列向量,阻抗矩阵（对角矩阵）,整个电路的支路电压、电流关系矩阵：,bb阶对角阵,下 页,上 页,电路中电感之间有耦合（略）,返 回,如1支路至g支路间均有互感,对角线为支路阻抗，非对角线元素为支路之间的互感阻抗,电路中有受控电压源,Z的非主对角元素将有与受控电压源的控制系数有关的元素。,例,写出图示电路的阻抗矩阵,符号由电流方向决定,3.回路电流方程的矩阵形式,支路方程：,几何约束,支路（元件）约束,回路阻抗阵，是一个l 阶方阵.对角线为自阻抗，非对角线为互阻抗。
10、,显然，等式右边两项都是l 阶列向量。,回路分析法的步骤：,下 页,上 页,小结,返 回,选定树支，并给各支路编号（通常按先连支后树支的顺序）,画出有向图,写出,求各支路电流和电压,例,用矩阵形式列出电路的回路电流方程。,解,画出有向图，选支路1，2，5为树枝。,若按先连支后树支，则为34125,下 页,上 页,把上式各矩阵代入回路电流方程的矩阵形式,返 回,1.支路导纳矩阵形式,下 页,上 页,15.5 结点电压方程的矩阵形式,电路中不含互感和受控源,返 回,bb阶对角阵,电路中电感之间有耦合（略）根据前节的讨论可知，电路的支路阻抗矩阵Z不再是对角阵，此时Y也不再是对角阵，还应考虑相应支路之
11、间的互感阻抗。,电路中有受控电源,Zk(Yk),+,-,+,-,设电路共有b条支路,KCL,2.结点电压方程的矩阵形式,支路方程：,KVL,结点导纳阵,独立电源引起的流入结点的电流列向量,结点分析法的步骤,第一步：把电路抽象为有向图,小结,第三步：形成矩阵Y,第四步：形成US、IS,US=-5 0 0 0 0 0 T,IS=0 0 0-1 3 0 T,第五步：用矩阵乘法求得结点方程,US=-5 0 0 0 0 0 T,IS=0 0 0-1 3 0 T,例,下 页,上 页,用矩阵形式列出电路的结点电压方程。,解,作出有向图,返 回,注意g的位置,代入,下 页,上 页,*15.6 割集电压方程的矩
12、阵形式,割集电压是指由割集划分的两分离部分之间的一种假想电压。以割集电压为电路独立变量的分析法称为割集电压法。,复合支路,用导纳表示的支路方程：,返 回,结合以上方程有：,以树支电压为未知量,割集导纳矩阵，主对角线元素为相应割集各支路的导纳之和，总为正；其余元素为相应两割集之间共有支路导纳之和。,下 页,上 页,返 回,注意,割集电压法是结点电压法的推广，或者说结点电压法是割集电压法的一个特例。若选择一组独立割集，使每一割集都由汇集在一个结点上的支路构成时，割集电压法便成为结点电压法。,小结,割集分析法的步骤：,选定一个树，写出,例,下 页,上 页,以运算形式列出电路的割集电压方程的矩阵形式，设动态元件的初始条件为零。,解,做出有向图，选支路1，2，3为树枝。,返 回,用拉氏变换表示时，有：,代入割集方程：,
