达朗贝尔原理动静法.ppt

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1、1,11 达朗贝尔原理（动静法）,2,第11章 达朗贝尔原理（动静法）,达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普遍的方法，即用静力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题，因此又称为动静法。,3,11.2 刚体惯性力系的简化,11.3 绕定轴转动刚体的轴承动约束力,11.1 惯性力达朗贝尔原理,第11章 达朗贝尔原理,4,FI,如图示，设一质点的质量为m,加速度为a，受主动力F，约束力FN，,m a=F+FN,F+FN m a=0,FI=m a（111）,F+FN+FI=0（112）,FI称为质点的惯性力。,m a,一、惯性力,则有,注意惯性力的大小和方向。,令,有,11.1 惯性力达朗贝尔

2、原理,5,二、质点的达朗贝尔原理,上式表明作用在质点上的主动力、约束力和惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。,质点并非真的处于平衡状态，这样做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。对质点系动力学问题，这一方法具有很多优越性。,F+FN+FI=0(112）,强调指出：,11.1 惯性力达朗贝尔原理,6,FT,FIn,例111 如图所示一圆锥摆，质量m0.1kg的小球系于长l0.3m的绳上，绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成60角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力FT的大小。,mg,11.1 惯性力达朗贝尔原理,7,解：视小球为质点，受力分析如下：,

3、重力（主动力）：,绳的张力（约束力）：,惯性力：,FIn man,=m,根据质点的达朗贝尔原理，有：,mg+FT+FIn0（）,mg,FT,FIn,其中,FT,mg,FIn,11.1 惯性力达朗贝尔原理,8,则式（）在图示自然轴上的投影式为：,FTcos-mg=0,FTsin-FIn=0,(1),(2),联解（1）、（2）式得：,FT,1.96N,v,2.1m/s,建立如图所示自然坐标系,mg+FT FIn0（）,11.1 惯性力达朗贝尔原理,9,练习：列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度，相对车厢静止，求车厢的加速度a。,解：以单摆为研究对象，画受力

4、图,加惯性力,建立坐标轴x,x,列平衡方程,角随着加速度a的变化而变化，当a不变时，角也不变。只要测出角，就能知道列车的加速度。,摆式加速计,11.1 惯性力达朗贝尔原理,10,主动力的合力Fi、,惯性力FIi=miai。,设质点系由n个质点组成，其中任意质点i的质量为mi，加速度为ai。,Fi+FNi+FIi=0（113）,该式表明：质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系的达朗贝尔原理。,（1）若把作用于此质点上的所有力分为,由质点的达朗贝尔原理，有,约束力的合力FNi，,再虚拟加上此质点的,11.1 惯性力达朗贝尔原理,三、质点系的达朗贝尔原理

5、,11,外力的合力Fi（e)、,（2）若把作用于此质点上的所有力分为:,则式（113）可改写为：,Fi（e)+Fi(i)+FIi=0（i1，2，n）,对整个质点系有：,而,内力的合力Fi(i)，,11.1 惯性力达朗贝尔原理,12,为对点O的主矩，,上式表明，作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系，这是质点系达朗贝尔原理的又一表述。,在静力学中，,故,称,为主矢，,在此称,为惯性力系的主矢，,为惯性力系对点 O的主矩。,11.1 惯性力达朗贝尔原理,13,可见(11-4)与上式相比分别多出了惯性力的主矢和主矩，这在形式上也是一个平衡力系，因而可用静力学中求解平衡

6、问题的方法，求解动力学问题。,空间任意力系的平衡条件为：,11.1 惯性力达朗贝尔原理,14,例142 如图所示，定滑轮的半径为r，质量m均匀分布在轮缘上，绕水平轴O转动。跨过滑轮的无重绳的两端挂有质量为m1和m2的重物（m1m2），绳与轮间不打滑，轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。,m1g,m2g,mg,11.1 惯性力达朗贝尔原理,15,两重物：,解：取滑轮与两重物组成的质点系为研究对象，并对该质点系进行受力分析：,1、外力,重力：,m1g,m2g,mg,轴承约束反力：,Fox，Foy,2、惯性力：（各加速度方向如图示）,FI1m1a,FI2=m2a,轮缘上任意质点i（设其质量为mi)：,

7、FIit,FIin,=mia,=mi at,=mi an,FI2,Fox,m1g,mi,m2g,mg,Foy,FI1,FIit,FIin,11.1 惯性力达朗贝尔原理,16,根据质点系达朗贝尔原理，列平衡方程：,m1grm2gr FI1r FI2r,即,（m1g m2g m1a m2a)r=0,而,=mar,解得,FI2,Fox,m1g,mi,m2g,mg,Foy,FI1,FIit,FIin,有其它方法吗？,11.1 惯性力达朗贝尔原理,17,Fox,m1g,mi,m2g,mg,Foy,例112 如图所示，定滑轮的半径为r，质量m均匀分布在轮缘上，绕水平轴O转动。跨过滑轮的无重绳的两端挂有质量

8、为m1和m2的重物（m1m2），绳与轮间不打滑，轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。,解：以整体为研究对象，受力如图,由动量矩定理,11.1 惯性力达朗贝尔原理,18,例113 飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度定轴转动，设轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘上，不考虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。,11.1 惯性力达朗贝尔原理,19,每段加惯性力FIi。,FA,FB,解：由于对称，取四分之一轮缘为研究对象，如图所示。,FIi=miain,列平衡方程,取圆心角为i的微小弧段，,轮缘横截面张力设为FA、FB。,而,FIi,11.1 惯性力达朗贝尔原理,20,i,所以,由于对称，任一横截面张力相同。

9、,0，,有,令,11.1 惯性力达朗贝尔原理,21,例11-4：如下图（a)所示，质量为m，长为l=a+b的均质杆BE，用铰链E和绳CD与铅垂转轴CE连接，BE与CE的夹角为，CD垂直于CE。如转轴以匀角速度转动，求绳子的拉力和铰链E的约束力。,11.1 惯性力达朗贝尔原理,22,解：以细杆BE为研究对象，并对该杆进行受力分析（图(b)）：,1、外力,重力：,mg,轴承约束反力：,FEx，FEy,绳子的拉力：,FT,FEx,FEy,mg,FT,11.1 惯性力达朗贝尔原理,23,设惯性力合力为FI，其作用点G距E的距离为sG。,在杆长s处，取微小段ds，,2、惯性力：,BE杆中所有质点的惯性力

10、呈三角形分布,（1）求惯性力合力大小及其作用位置,G,D,E,B,x,FEx,FEy,mg,FT,(b),y,sG,FI,dFI,dFI=dman,(为常量，at=0),所以,FI,它的惯性力为dFI：,11.1 惯性力达朗贝尔原理,24,由合力矩定理可求得合力作用线位置sG：,（2）利用动静法，列平衡方程式，求解未知量,FTFI FEx=0,FEy mg=0,11.1 惯性力达朗贝尔原理,25,由上三式解得：,11.1 惯性力达朗贝尔原理,作业：11-3，11-6,练习：11-1，11-2，11-4,26,11.2 刚体惯性力系的简化,为了便于应用动静法解决刚体的动力学问题，常需将刚体中各质

11、点的惯性力所组成的惯性力系进行简化，求出惯性力系的主矢和主矩。,本节将讨论刚体平移，定轴转动和平面运动时惯性力系的简化。,以FIR表示惯性力系的主矢，则,结合（114）第一式和质心运动定理知：,此式适用于任何质点做任何运动,（115）,动静法的关键就是如何确定惯性力系的主矢和主矩,27,力系主矢的大小和方向与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关。下面对刚体作三种运动时惯性力系简化的主矩进行讨论。,1.刚体作平移,FI1,ai,a1,FIi,任一瞬时都有：,如图，C为刚体质心，O为简化中心。,ai aC,该力系向O点简化:,FIimi ai=mi aC,惯性力系分布如图示。,11.2

12、 刚体惯性力系的简化,28,若取质心C为简化中心，MIC表示主矩，,rC=0，,则有,MIC0,因,MIO一般不为零,结论：,平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。,29,2.刚体定轴转动,如图定轴转动刚体，其上任一质点质量mi，,同理,有惯性力：,30,工程中绕定轴转动的刚体常常有质量对称平面，若取此平面与转轴z的交点O为简化中心，,则有(对z轴的惯性积）,故此时惯性力系向O点简化的主矩为：,而,31,结论：当刚体有质量对称平面且绕垂直于此对称平面的轴作定轴转动时，惯性力系向转轴与对称平面的交点O简化,可简化为此对称平面内

13、的一个作用于O点的力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。,11.2 刚体惯性力系的简化,32,（1）刚体绕不通过质心C的转轴作匀速转动，图（a）,（2）刚体绕通过质心C的轴作加速转动，图（b）,（3）刚体绕通过质心C的轴作匀速转动，图（c）,11.2 刚体惯性力系的简化,33,3.刚体作平面运动,假设刚体平行于其质量对称平面作平面运动。刚体的惯性力系可简化为对称平面内的平面力系。,取质量对称平面内的平面图形，如图示。,刚体平面运动可分解为随基点（质心C）的平动：绕通

14、过质心的轴的转动：,11.2 刚体惯性力系的简化,34,结论：有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，其方向与质点加速度的方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。,11.2 刚体惯性力系的简化,35,动静法的解题步骤：,1.选取研究对象（和静力学相同）。,2.受力分析：画出全部主动力和约束力。,3.运动分析：主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。,4.虚加惯性力：在受力图上画上惯性力和惯性力偶。一定要在正确进行运动

15、分析的基础上加惯性力。,5.列平衡方程，选取适当的矩心和投影轴。,6.建立补充方程：运动学补充方程（运动量之间的关系）。,7.求解未知量。,11.2 刚体惯性力系的简化,36,例1 均质杆长l，质量m，绕定轴O转动的角速度为，角加速度为，求惯性力系向O点简化的结果（方向在图上画出）。,解：该杆作定轴转动，所以惯性力系向点O简化的结果如下：,主矢,主矩,讨论：惯性力系向C点简化的结果如何？,方向如图(b)示。,11.2 刚体惯性力系的简化,37,例2 如图所示，电动机定子及其外壳总质量为m1，质心位于O处。转子的质量为m2，质心位于C处，偏心距OCe，图示平面为转子的质量对称平面。电动机用地脚螺

16、钉固定于水平基础上，转轴O与水平基础的距离为h。运动开始时，转子质心位于最低位置，转子以匀角速度转动。求基础与地脚螺钉给电动机总的约束力。,h,m1g,m2g,O,C,x,y,11.2 刚体惯性力系的简化,38,解：（一）取整体为研究对象，受力分析如下：,重力：m1g,m2g,向A点简化的约束反力：Fx，Fy，M,1、外力,2、惯性力：,只需对转子加惯性力FI，,因转子匀角速度转动，所以,（方向如图示）,h,m1g,m2g,O,C,x,y,11.2 刚体惯性力系的简化,39,（二）根据达朗贝尔原理列平衡方程式,解上述方程组，得,h,m1g,m2g,O,C,x,y,11.2 刚体惯性力系的简化,

17、40,动静法的优、缺点及动静法给我们的启示,、用动静法和用普遍定理求解动约束力的主要区别在于力矩方程：前者只要对系统正确地施加惯性力，就可以充分运用静力学中的各种平衡方程及解题技巧，可对任意点取矩，这就为求解带来了方便，可不联立或少联立方程；而后者，矩心一定取定点或质心。,、主动力引起静约束力，而惯性力引起动约束力，这种看法一方面物理意义比较鲜明；另外，求静约束力与求动约束力的方法也统一，这在求解系统的动约束力与运动部件内部的动应力时十分便利。,优点：,11.2 刚体惯性力系的简化,41,、普遍定理概念多，定理不直观，较难掌握，不像动静法只有真实力、惯性力概念那样简单。,普遍定理沿着力的作用和

18、运动量的描述两条线索分析 问题，而动静法是将两条线索从形式上转化为只有力的简化这一条线索，这正是动静法或达朗贝尔原理的贡献所在。,、尽管使用质点的动静法解题并不省时、省力，但是用它定性解释一些力学现象，却显示了其优越性。,（如解释：转动时的离心力）,11.2 刚体惯性力系的简化,42,、加 惯性力需要分析加速度，而动能定理只要求作速度分析。,若系统由若干刚体组成，用 动静法解题时往往需将系统拆开，而暴露出许多未知力；,但只要这些力不作功，在动能定理中它们全都不会出现。,、用 动 静 法解题时容易掩盖系统运动的 动力学特性（如动量守恒、动量矩守恒等）。,对动静法评价的另一观点：,动静法产生和发展

19、于对,静力学较为了解，但对动力学了解甚少的年代，而在对动力学较为了解的今天，不宜再过分强调动静法的应用。,缺点：,11.2 刚体惯性力系的简化,43,-增强创新意识、培养创造性思维。,动静法给我们的启示：,本章的动静法和下章的虚位移原理是先辈们创造性思维的具体体现。,因用动力学普遍定理计算机器动反力比较繁琐，于是就另辟思路，,下章将提到，因对一些复杂结构，用静力学平衡方程求解冗长而复杂，为此提出“虚位移”和“虚功”的概念，将静力学问题变为动力学问题来处理，以“动”论“静”。这两种别具一格的方法，不仅成功简化了计算问题，而且发展了原有理论，并由此产生了一门新的力学分支-分析力学。,提出“惯性力”

20、，将动力学问题变为静力学问题来处理，以“静”论“动”。,11.2 刚体惯性力系的简化,44,-增强创新意识、培养创造性思维。,动静法给我们的启示：,因解决问题也许,通过了解先辈们进行创造性思维活动的过程和价值，增强了我们的创新意识，有益于培养我们的创造性思维。,伟大的科学家爱因斯坦说得好：创造性的想象力比知识更 重要。,仅是一个数学上或实验上的技能而已；,而提出新的问题、新的,可能性，从新的角度去看旧的问题，都要有创造性的想象力。,想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。,提出一个问题比解决一个问题更重要。,11.2 刚体惯性力系的简化,45,例3 均质圆盘质量为m1，半径

21、为R。均质细长杆长l=2R，质量为m2。杆端A与轮心为光滑铰接。如在A处加一水平拉力F，使轮沿水平面纯滚动。问：力F为多大方能使杆的B端刚好离开地面？又为保证纯滚动，轮与地面间的静摩擦因数应为多大？,11.2 刚体惯性力系的简化,46,根据达朗贝尔原理：,解得：,细杆刚好离开地面时仍为平移，且地面约束力为零，设其加速度为a，受力分析如图(b)，其中惯性力,解：（一）取细杆为研究对象。,11.2 刚体惯性力系的简化,47,（二）取整体为研究对象，受力分析如图(c)，,根据达朗贝尔原理：,解得：,其中,11.2 刚体惯性力系的简化,48,（三）求摩擦因数，如图(c)，,而,11.2 刚体惯性力系的

22、简化,解法二：以杆为研究对象，由平面运动微分方程（动量矩定理）求a；以杆为研究对象，由质心运动定理求约束力；以轮为研究对象，由平面运动微分方程求Fs。,49,例4 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力S、T 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦因数为f,试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。,T,S,M,mg,11.2 刚体惯性力系的简化,50,（一）取轮为研究对象，受力分析如图所示。,解：,Fs,FN,MIC,FIC,T,S,M,mg,1、外力,主动力：mg、S、T、M,

23、摩擦力和约束力：Fs，FN,2、惯性力：（各加速度方向如图示）,（1）,（2）,（二）由动静法列平衡方程式,（3）,（4）,（5）,11.2 刚体惯性力系的简化,51,所以：,要保证车轮不滑动，必须,由（1）（5）式得,(*),11.2 刚体惯性力系的简化,52,例5 均质杆长l,质量m,与水平面铰接,杆由与平面成0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。,mg,MIA,FIn,FIt,Fx,Fy,（一）选杆AB为研究对象，其作定轴转动，受力分析如图所示。,解：,1、外力,主动力：mg,支座反力：Fx，Fy,2、惯性力：,（1）,（2）,（3）,11.2 刚体惯性力系的简化

24、,53,（二）由动静法列平衡方程式,（4）,（6）,由（1）（6）式得,（5）,mg,MIA,FIn,FIt,Fx,Fy,54,例6 均质细杆长l,质量m,在水平位置用铰链支座和铅垂绳BD连接,如图(a)示。如绳突然断去，求杆到达与水平位置成角时A处的支座约束力。,（一）选杆为研究对象，绳断后其作无初速的定轴转动，到达与水平位置成角时，受力分析如 图(b)所示。,解：,FIAn,FIAt,MIA,其中，惯性力,55,又由动能定理得,（二）根据达朗贝尔原理列平衡方程式,（4）,（5）,（2）,（3）,由（1）（5）式得,FIAn,FIAt,MIA,作业：11-8，9，12,56,14.3 绕定轴

25、转动刚体的轴承动约束力,主动力系向O点简化:主矢 FR,主矩MO惯性力系向O点简化:主矢 FIR,主矩MIO,刚体的角速度，角加速度，在轴上任取 一点O为简化中心。,FAx,FAy,FBx,FBy,FR,FBz,FIR,MO,MIO,其中,一、刚体的轴承动约束力,A、B处全约束力为：FAx、FAy、FBx、FBy、FBz,57,根据达朗贝尔原理列平衡方程式,58,可见除FBz与惯性力无关外，轴承的动反力由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为静约束力；一部分是由惯性力引起的，称为附加动约束力，它可以通过调整加以消除。,59,要使附加动反力为零，须有,故,aCxaCy0,转轴必须过质心,JxzJyz0,转轴为过O点的惯性主轴,转轴为中心惯性主轴,避免出现轴承附加动约束力的条件是，刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴。,结论：,60,静平衡：刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力而不受其它主动力时，不论位置如何，总能平衡。动平衡：转轴为中心惯性主轴时，刚体转动时不产生轴承附加动约束力。,二、静平衡与动平衡的概念,能够静平衡的定轴转动刚体不一定能够实现动平衡，但能够动平衡的定轴转动刚体肯定能够实现动平衡。,14.3 绕定轴转动刚体的轴承动约束力,61,第11章结束,