高等数学中的两个重要极限.ppt

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1、第5讲 两个重要极限,两个重要的极限,预备知识,1.有关三角函数的知识,2.有关对数函数的知识,以e为底的指数函数y=ex的反函数 y=logex,叫做自然对数,在工程技术中经常被运用,常简记为 y=ln x.,数 e 是一个无理数,它的前八位数是:,e=2.718 281 8,3.有关指数运算的知识,4.无穷小量定义 在某个变化过程中,以0为极限的变量称为在这个变化过程中的无穷小量,常用字母,性质 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.,5.极限的运算法则,X 1 0.5 0.1 0.01 0.001.0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998,X 1

2、 0.5 0.1 0.01 0.001.0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998,第一个重要极限,O,x,B,A,C,D,证,解,这个结果可以作为公式使用,例 1求,例 2,注:在运算熟练后可不必代换,直接计算:,练习1.求下列极限:,例 3,解,例 4,解,思考题,练习3:下列等式正确的是(),练习4:下列等式不正确的是(),练习5.下列极限计算正确的是(),练习6.已知,当()时,,为无穷小量.,,当 时,,为无穷小量,练习7.已知,练习8.,练习9.,第二个重要极限,解因为,所以,有,例 1,例 2,解方法一令 u=-x,因为 x 0 时 u 0

3、,,所以,方法二掌握熟练后可不设新变量,例3,解,练习1.,解,练习2.,解,练习3.,解,两个重要极限:,小结,练 习 题,思考题,解因为,所以令 u=x-3,当 x 时 u,,因此,附录,两个重要极限的证明,O,x,R,A,B,C,证 AOB 面积 扇形AOB 面积 AOC 面积,即,例,两个重要极限的证明,因为,所以再次运用定理 6 即可得,重要极限1,其中的两个等号只在x=0时成立.,证,设圆心角 过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C,又作,则sin x=BD,tan x=AC,,这就证明了不等式(7).,从而有,重要极限2,证,这是重要极限2常用的另一种形式.,分析:此是一个和式的

4、极限,显然第一项及第二项函数中分子、分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零,因此可以直接利用极限的运算法则求解。,极限综合练习题(一),例3 求下列极限:,解:当x从0的左侧趋于0时,,当x从0的右侧趋于0时,例5 求下列极限,分析:本例中均是求分式的极限问题,且在各自的极限过程中,分子、分母的 极限均为零,不能直接用极限商的运算法则。求解此类极限的关键是找出分子、分母中共同的致零因式,把它们约去后再求解。,寻找致零因式常用的方法为:若是有理分式的极限,则需把分子分母、分别分解因式(一般采用:“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法);若是无理分式的极限,则需要把分子、分母有理化。,解:

5、(1)把分子分母分解因式,消去致零因式,再求极限。,求解。又当x0时,ax0,bx0,于是有,分析:当x0时,分子,分母的极限均为0,且分子是一个无理函数,分母是正弦函数,于是可先把分子有理化(分子,分母同乘以,然后看是否可利用第1个重要极限。,解法2:,分析:当 x0时,分式中分子分母的极限均为0,不能直接使用极限的运算法则,但前面所介绍“分解因式”、“有理化”的方法在此又不适用。能否利用第1个重要极限呢?这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。,解:因当x时,sinx的极限不存在,故不能用极限的运算法则求解,考虑到,解,1.求极限:,极限综合练习题(二),解:利用第一重要极限和函数

6、的连续性计算,即,2.求下列极限:,解:对分子进行有理化,然后消去零因子,再利用四则运算法则和第一重要极限计算,即,3.求下列极限:,分析:此极限属于时有理分式的极限问题,且m=n,可直接利用上述结论得出结果,也可用分子、分母同除以x15来计算。解:分子分母同除以x15,有,=2 2+1=5,解,5.求,解,6.求极限,解:容易算出分式分子的最高次项是,分式分母的最高次项是,所以,7.求极限,8.求极限,9.设函数,问:(1)当a为何值时,f(x)在x=0右连续;(2)a,b为何值时,f(x)在x=0处有极限存在;(3)当a,b为何值时,f(x)在x=0处连续。,根据f(x)x=0处极限存在的充分必要条件:,即a=1,故当a=b=1时,f(x)在x=0处连续,解:利用第二重要极限计算,即,10.求下列极限,

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