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1、2023/10/1,数学物理方程与特殊函数,制作：北京理工大学 闫桂峰等,2023/10/1,主讲教师：闫桂峰 E-mail:Tel：68912131(中教630),2023/10/1,参考书目梁昆淼.数学物理方法（第三版）.高等教育出版社,1998。闫桂峰.数学物理方法.北京理工大学出版社,2009。李元杰.数学物理方程与特殊函数.高等教育出版社,2009。杨华军.数学物理方法与计算机仿真，电子工业出版社，2005。,第一章 典型方程和 定解条件的推导,1.0 预备知识基本概念,2023/10/1,课程内容：研究数学物理方程的建立、求 解方法和解的物理意义的分析。,1.0 预备知识基本概念,
2、2023/10/1,微分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数的导数或微分的方程,常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程.,偏微分方程:未知函数为多元函数的微分方程,18:57,1.0 预备知识基本概念,2023/10/1,偏微分方程:未知函数为多元函数的微分方程,1.0 预备知识基本概念,2023/10/1,偏微分方程的阶:方程中未知函数的偏导的最高阶数,是二阶偏微分方程,是三阶偏微分方程.,例:,1.0 预备知识基本概念,2023/10/1,线性偏微分方程:对于未知函数及其所有偏导数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于自变量（或者为常数）非线性偏微分方程:不是线性的偏微分方程,例,是
3、二阶线性偏微分方程,是非线性偏微分方程,1.0 预备知识基本概念,2023/10/1,n个自变量的二阶线性偏微分方程,一般形式为,这里 和 都是关于自变量 的函数。如果，则称方程为齐次的；否则称为非齐次的。,本课程的主要研究对象：,1.0 预备知识基本概念,2023/10/1,根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出定解条件；,主要内容,从不同的物理模型出发，建立三类典型方程；,提出相应的定解问题,1.0 预备知识基本概念,1.1 基本方程的建立,2023/10/1,导出数学物理方程的一般方法：确定所研究的物理量；建立适当的坐标系；划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相
4、互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响，表达为数学式；简化整理，得到方程。,1.1 基本方程的建立,2023/10/1,例 1.弦的微小横振动 设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。假设与结论：（1）横振动 坐标系oxu，位移u(x,t),（2）微小振动,1.1 基本方程的建立,2023/10/1,（3）弦柔软、均匀.张力 沿切线方向,密度 为常数；,建立方程：取微元，研究在水平方向和铅垂方向 在不受外力的情况下的运动情况。,1.1 基本方程的建立,2023/10/1,牛顿运动定律：F=ma,作用在弧段
5、 上的水平方向的力为,倾角很小，即,近似得,垂直方向的力为,（1）,于是等式（1）变成,由微积分知识可知，在时刻t 有,（2）,等式（2）可以写成,由于,令，取极限得,略去重力，可得方程,其中,(3),弦振动方程（3）中只含有两个自变量 和，其中 表示时间，表示位置。由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称为一维波动方程。,1.1 基本方程的建立,2023/10/1,注1：如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力，且外力密度为F(x,t)，外力可以是压力、重力、阻力，则,1.1 基本方程的建立,2023/10/1,例 2.传输线方程 研究高频传输线内电流流动规律。,待研究物理量:电流强度 i
6、(x,t),电压 v(x,t),R 每一回路单位的串联电阻,L 每一回路单位的串联电感，C 每单位长度的分路电容，G 每单位长度的分路电导，,1.1 基本方程的建立,2023/10/1,Kirchhoff 第一,二定律,微分形式,两端对x微分,两端对t微分*C,相减,传输线方程,高频传输，G=0,R=0,高频传输线方程,与一维波动方 程 类 似,1.1 基本方程的建立,2023/10/1,例3.声学方程,Lapalce算子,三维波动方程,1.1 基本方程的建立,2023/10/1,注2：类似的可导出二维波动方程（例如薄膜振动）,它的形式为,1.1 基本方程的建立,2023/10/1,奥氏公式,
7、例4 静电场的势方程,在区域 内,静电场强度为,介电常数,电荷密度为,求静电场的势满足的方程,即,故,1.1 基本方程的建立,2023/10/1,故,即,Laplace方程,Poisson方程,当内没有电荷时,1.1 基本方程的建立,2023/10/1,如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热传导。,考虑物体G 内的热传导问题。函数u(x,y,z,t)表示物体G 在位置 M(x,y,z)以及时刻 t 的温度。通过对任意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建立方程。,假设：假定物体内部没有热源，物体的热传导系数为常数，即是各向同性的，物体的密度以
8、及比热是常数。,例 5.热传导方程,1.1 基本方程的建立,2023/10/1,傅立叶实验定律:物体在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无穷小面积dS的热量dQ与时间dt,面积dS,物体温度沿曲面dS法线方向的方向导数成正比.,从时刻 到时刻 经过曲面S 流入区域V 的热量为,高斯公式,1.1 基本方程的建立,2023/10/1,流入热量使物体内温度变化，在时间间隔 中物体温度从 变化到 所需吸收热量为,由于所考察的物体内部没有热源,根据能量守恒定律可得,第一章 典型方程和定解条件的推导,2023/10/1,由于时间,和区域 V 都是任意选取的,并且被积函数连续,于是得,(非均匀的各向同性体
9、的热传导方程),三维热传导方程,18:57,1.1 基本方程的建立,2023/10/1,若物体内部有热源 F(x,y,z,t),则热传导方程为,其中,1.1 基本方程的建立,2023/10/1,二维热传导方程,维热传导方程,三维热传导方程,1.1 基本方程的建立,2023/10/1,在上述热传导方程中,描述空间坐标的独立变量为,所以它们又称为三维热传导方程.当考察的物体是均匀细杆时,如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同,则可以得到一维热传导方程,类似,如果考虑一个薄片的热传导,并且薄片的侧面绝热,可以得到二维热传导方程,1.1 基本方程的建立,2023/10/1,当我们考察气体的扩散,
10、液体的渗透,半导体材料中的杂质扩散等物理过程时,若用 表示所扩散物质的浓度,则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同.所以热传导方程也叫扩散方程.,1.1 基本方程的建立,2023/10/1,波动方程 声波、电磁波、杆的振动；热传导方程 物质扩散时的浓度变化规律,长海峡中潮汐波的运动，土壤力学中的渗透方程;Laplace方程 稳定的浓度分布,静电场的 电位,流体的势.,总 结：,1.1 基本方程的建立,2023/10/1,一维齐次波方程：,一维齐次热方程：,二维Laplace方程：,1.1 基本方程的建立,2.2 初始条件与边界条件,2023/10/1,一.初始条件及Cauchy问题 描述某
11、系统或某过程初始状况的条件称为初始条件，初值条件与对应方程加在一起构成初值问题(或称Cauchy问题）。,2.2 初始条件与边界条件,2023/10/1,初始位移、初始速度分别为,称,波动方程的初值条件.,弦振动问题,热传导方程,称为热传导方程的初值条件.,2.2 初始条件与边界条件,2023/10/1,不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非 系统中个别点的初始状态。,2.2 初始条件与边界条件,2023/10/1,例.长为 l 两端固定的弦，初始时刻将弦的中点拉起 h,正确写法,2.2 初始条件与边界条件,2023/10/1,（I）第一类边界条件,
12、18:57,（II）第二类边界条件,（III）第三类边界条件,二.边界条件,描述某系统或过程边界状况的约束条件称为边界条件.,2.2 初始条件与边界条件,2023/10/1,例1.长为l的弦，一端固定，一端以 sint 规律运动,第一类边界条件,例2.长为l的杆，一端温度为0，一端温度为(t),2.2 初始条件与边界条件,2023/10/1,弦振动问题：弦的一端（如 x=l）可以在垂直 x 轴的直线上自由的上下滑动，且不受垂直方向的外力，我们称这种端点为“自由端”。,第二类边界条件,在这一端点，边界上的张力沿垂直于x轴的方向的分量为0，因此在方程的推导中知,即,2.2 初始条件与边界条件,20
13、23/10/1,当该点处的张力沿垂直x 轴的方向的分量是 t 的已知函数 时，有,18:57,2.2 初始条件与边界条件,2023/10/1,热传导问题：如果物体和周围介质处于绝热状态，即在表面上热量的流速始终为0，则由方程推导过程可知，有边界条件,18:57,2.2 初始条件与边界条件,2023/10/1,第三类边界条件,例(1)弦的振动（端点弹性连结）,弹性力,张力,2.2 初始条件与边界条件,2023/10/1,(2)热传导问题（端点自由冷却）,散失的热量,内部流到边界的热量,即,2.2 初始条件与边界条件,2.3 定解问题,2023/10/1,弦振动的Cauchy问题,只包含初值条件的
14、定解问题称为初边值问题（Cauchy 问题）,2.3 定解问题,2023/10/1,包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题(初边值问题),热传导方程的混合问题,2.3 定解问题,2023/10/1,波动方程的混合问题,只附加边界条件的定解问题称为边值问题.初值条件、边界条件统称为定解条件.初值问题、边值问题、混合问题统称为定解问题.,2.3 定解问题,2023/10/1,一般线性二阶偏微分方程（n个自变量）,两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式,2.3 定解问题,2023/10/1,线性方程的叠加原理,称形如,的符号为微分算子。,2.3 定解问题,2023/10/1,如,二阶偏微分方程,可简写为,2.3 定解问题,2023/10/1,2.3 定解问题,2023/10/1,例 非齐次波动方程的Cauchy问题,的解等于问题(I)和问题(II)的解之和,2.3 定解问题,2023/10/1,2.3 定解问题,
