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1、2.5 极限存在准则及两个重要极限,一.极限存在准则,二.两个重要极限,本节先介绍极限存在准则,并利用它们来导出两个重要极限.,一.极限存在准则,则数列 xn 的极限存在,且,证明,因,根据数列极限的定义,对任意给定,存在正整数,又,对上述,存在正整数,同时成立,于是当,上述数列极限存在准则可以推广到函数的情况.,且等于A.,即：,此推论的证明与数列的情况完全类似.定理及推论均称为,夹逼准则.,例1 求,解 设,因为,且,，,则由夹逼准则，可得,单调有界准则,单调不减有界数列和单调不增有界数列统称为单调有界数列.,这个定理的证明超出本书要求,在此从略.,定理 单调有界数列必有极限.,存在且为1
2、.,由定理知道,收敛的数列一定有界,但有界的数列却不,一定收敛.该定理表明,如果一个数列不仅有界,而且单调,则,该数列一定收敛.,二.两个重要极限,从而可求,1.,1,A,o,B,C,D,x,证 因为,故只须讨论 x 0 的情形.,在如右图的单位圆中,设,AOB的面积 扇形AOB的面积 AOD的面积,从而,从而,两端同除以 sinx 得,故,即,例2 求,解,解,例3 求,解,例4,我们证明数列 xn 满足定理2.5.2的条件.,(1)数列 xn 是单调增加的.,由牛顿二项公式，有：,类似地，有,因为,从而 xn 是单增的.,故xn 有上界,从而 存在.,(2)数列 xn 是有界的.,应当指出
3、,根据定理2.5.2,我们只是定性的说明该数列 的极限存在,并未给出数列 极限的具体数值.由于其推导超出本书范围,这里仅给出其结果,这个极限值被瑞士欧拉首先用字母e(是一个无理数,其值e=2.7182818284).,根据定理,该数列 的极限存在.,综述所述,有,利用这个结果和夹逼准则,我们可以证明(证明从略),对于一般的实数,仍然有,如果作变量替换,令,于是有,例5 求,解,例6 求,解,解,例7 求,注 为使计算简化,我们给出一个对“1”型非常适用的结论:,如例7 也可以按下面的过程求解：,例8,连续复利问题,设有一笔初始本金A0 存入银行,年利率为r,则一年末结算,时,其本利和为,如果一
4、年分两期计息,每期利率为,为后一期的本金,则一年末本利和为,如果一年分n期计息,每期利率为,后一期的本金,则一年末利和为,且前一期的本利和作,且前一期的本利和作为,令,则表示利息随时计入本金.这样 t 年末的本利和为,于是到 t 年末共结算 nt 期(每期利率为),其本利和为,(1)已知现值A0,求终值At,有复利公式,(2)已知终值At,求现值A0,有贴现公式(这时利率称为贴现率),则有如下结论:,一般地,设A0为初始本金(称为现在值或现值),年利率为r,按连续复利计算,t年末的本利和记为At(称为未来值或终值),这种将前一期利息计入本金再计算利息的方法称为复利;,当一年内计息期数 时的复利称为连续复利.,例9 一投资者欲用1000元投资5年,设年利率为6%.试,分别按单利、复利、每年按4次复利和连续复利付息方式计,算到第5年末,该投资者应得的本利和S.,解 按单利计算,按复利计算,按每年计算4次复利计算,元素的衰变等许多实际问题中都有十分广泛的应用.,按连续复利计算,连续复利计算公式，在研究人口增长、细胞分裂、放射性,
