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1、1.问题引入与分析,1)98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾,今年(1998年)夏天某县遭受水灾.为考察灾情、,组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到,全县各乡（镇）、村巡视.巡视路线指从县政府,所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政,府所在地的路线.,情巡视路线”中的前两个问题是这样的：,1）若分三组（路）巡视，试设计总路程最,短且各组尽可能均衡的巡视路线.,2）假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2,小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V,=35公里/小时.要在24小时内完成巡视，至少应分,几组；给出这种分组下最佳的巡视路线.,公路边的数字为该路段的公里数.,2)问题分
2、析：,本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不,同的条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线.,将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡,镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条,再回到点O，使得总权（路程或时间）最小.,公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所,给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中,一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络,图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次,如第一问是三个旅行售货员问题，第二问是四,本题是旅行售货员问题的延伸,多旅行售货员问题.,本题所求的分组巡视的最佳路线，也就是m条,众所周知，旅行售货员问题属于NP完全问题，,显然本问题更应属于
3、NP完全问题.有鉴于此，,经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达到,最小的闭链（闭迹）.,个旅行售货员问题.,即求解没有多项式时间算法.,一定要针对问题的实际特点寻找简便方法，想找到,解决此类问题的一般方法是不现实的，对于规模较大,的问题可使用近似算法来求得近似最优解.,6.最佳灾情巡视路线的模型的建立与求解,问题转化为在,给定的加权网,络图中寻找从,给定点O出发,行遍所有顶点,至少一次再回,回到点O,使得,总权(路程或时,时间)最小,即,最佳旅行售货,员问题.,最佳旅行售货员问题是NP完全问题,采用一种,近似算法求其一个近似最优解，来代替最优解.,算法一 求加权图的最佳旅行售货员回路近似
4、算法:,1)用图论软件包求出G中任意两个顶点间的最短路,构造出完全图,2)输入图 的一个初始H圈；,3)用对角线完全算法（见23）产生一个初始圈;,4)随机搜索出 中若干个H圈，例如2000个；,5)对第2)，3)，4)步所得的每个H圈，用二边逐次,修正法进行优化，得到近似最优H圈；,6)在第5)步求出的所有H圈中，找出权最小的一个,此即要找的最优H圈的近似解.,因二边逐次修正法的结果与初始圈有关,故本算法,第2)，3)，4)步分别用三种方法产生初始圈，以保,证能得到较优的计算结果.,问题一 若分为三组巡视，设计总路程最短且各,组尽可能均衡的巡视路线.,此问题是多个售货员的最佳旅行售货员问题.
5、,4),此问题包含两方面：a)对顶点分组,b)在每组中,求(单个售货员)最佳旅行售货员回路.,因单个售货员的最佳旅行售货员回路问题不存,存在多项式时间内的精确算法.,故多,也不,而图中节点数较多，为53个，我们只能去寻求,一种较合理的划分准则，对图1进行粗步划分后,求,出各部分的近似最佳旅行售货员回路的权,再进一,进一步进行调整，使得各部分满足均衡性条件3).,从O点出发去其它点，要使路程较小应尽量走,O点到该点的最短路.,故用软件包求出O点到其余顶点的最短路.,这些最短路构成一棵O为树根的树.,将从O点出发的树枝称为干枝.,从O点出发到其它点共有6条干枝，它们的名称,分别为，.,在分组时应遵
6、从准则：,准则1 尽量使同一干枝上及其分枝上的点分在同一组.,准则2 应将相邻的干枝上的点分在同一组；,准则3 尽量将长的干枝与短的干枝分在同一组.,由上述分组准则，我们找到两种分组形式如下：,分组1:（，），（，），（，）,分组2:（，），（，），（，）,分组1极不均衡,故考虑分组2.,分组2:(,),(,),(,),对分组2中每组顶点的生成子图,用算法一求出近似最优解及相应的巡视路线.,在每个子图所构造的完全图中,取一个尽量包含上图中树上的边的H圈作为其第2)步输入的初始圈.,分组2的近似解,因为该分组的均衡度,.所以此分法的均衡性很差.,为改善均衡性，将第组中的顶点C,2,3,D,4,分
7、给第组（顶点2为这两组的公共点），重新分,分组后的近似最优解见表2.,因该分组的均衡度,所以这种分法的均衡性较好.,问题二 当巡视人员在各乡（镇）、村的停留,停留时间一定,汽车的行驶速度一定,要在24小时内,完成巡视,至少要分几组及最佳旅行的巡视路线.,由于T=2小时,t=1小时,V=35公里/小时,需访问,的乡镇共有17个，村共有35个.计算出在乡(镇)及,村的总停留时间为17 2+35=69小时，要在24小时,内完成巡回，若不考虑行走时间，有:69/i24(i为,分的组数).得i最小为4，故至少要分4组.,由于该网络的乡(镇)、村分布较为均匀,故有可,能找出停留时间尽量均衡的分组,当分4组
8、时各组停,停留时间大约为69/4=17.25小时，则每组分配在路,路途上的时间大约为24-17.25=6.75小时.而前面讨,论过,分三组时有个总路程599.8公里的巡视路线，,分4组时的总路程不会比599.8公里大太多,不妨以,599.8公里来计算.路上约用599.8/35=17小时,若平,均分配给4个组,每个组约需17/4=4.25小时6.75小,小时,故分成4组是可能办到的.,现在尝试将顶点分为4组.分组的原则：除遵从,前面准则1、2、3外，还应遵从以下准则：,准则4 尽量使各组的停留时间相等.,用上述原则在下图上将图分为4组，同时计算,各组的停留时间,然后用算法一算出各组的近似最,最佳旅行售货员巡回，得出路线长度及行走时间,从而得出完成巡视的近似最佳时间.用算法一计,计算时，初始圈的输入与分三组时同样处理.,这4组的近似最优解见表3.,表3符号说明：加有底纹的表示前面经过并停留过,此次只经过不停留;加框的表示此点只经过不停留.,可看出,表3分组的均衡度很好,且完全满足24,小时完成巡视的要求.,该分组实际均衡度 4.62%,
