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1、标量场的梯度：,矢量场的散度：,矢量场的旋度：,高斯散度定理：,斯托克斯定理：,内容复习,散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场。,无散场和无旋场,两个重要公式：,左式表明，任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。,右式表明，任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。,1.6 三种常用坐标系,直角坐标系,直角坐标(x,y,z),柱坐标系,圆柱坐标(r,z),球坐标系,球坐标(r,),已知矢量 A 在圆柱坐标系和球坐标系中可
2、分别表示为,式中 a,b,c 均为常数，A 是常矢量吗？,柱坐标系和球坐标系内算子及梯度、散度、旋度的表达式，请参阅附录1。,格林定理,设任意两个标量场 及，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，如下图示。,那么，可以证明该两个标量场 及 满足下列等式,根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成,式中S 为包围V 的闭合曲面，为标量场 在 S 表面的外法线 en 方向上的偏导数。,上两式称为标量第一格林定理。,基于上式还可获得下列两式：,上两式称为标量第二格林定理。,设任意两个矢量场 P 与 Q，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场 P 及 Q 满足下列等式,式中S 为包围
3、V 的闭合曲面，面元 dS 的方向为S 的外法线方向，上式称为矢量第一格林定理。,基于上式还可获得下式：,此式称为矢量第二格林定理。,无论何种格林定理，都是说明区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。,此外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。,格林定理广泛地用于电磁理论。,矢量场的唯一性定理,位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。,已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见唯一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。,若矢量场 F(r)在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，源分布在有限区域 V 中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场 F(r)可以表示为,1.6.6 亥姆霍兹定理,式中,可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。,习题解答,1.1 解：,1.6 解：,1.8 解：,1.12 解：,因为,所以,1.15 解,在点M的环量面密度,1.16 解：,1.18 解：,1.20 解：见课本 P11。,
