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1、2.4 线面相对位置,一般面与投影面垂直面互交,a,a,b,b,c,c,d,d,e,e,f,f,n,n,m0,m0,m,m,求交线：,可见性判别：,【例2.30】如图所示，作ABC与铅垂的矩形DEFG的交线，并表明可见性。,a,a,b,b,c,c,d,d(e),e,g(f),f,g,i,k,求交线：,可见性判别：,【例2.31】如图所示，作平行于侧面的ABC和垂直于正面的DEF的交线，并表明可见性。,e”,f”,e,f,a”,b”,c”,a,b,c,d,d”,O,Z,k(l),l”,k”,求交线：,可见性判别：,【例2.32】如图所示，分别作出正垂面P与ABC，水平面Q的交线，并表明可见性。,
2、a,a,b,f(g),c,b,c,PV,QV,f,g,X,O,d,e,求交线：,可见性判别：,、两相交元素的投影都无积聚性时求交,由于相交的两元素均无积聚性，故不能直接利用积聚性进行求解。解决这类问题，通常可借助设置特殊辅助平面进行求解。,一般直线与一般平面相交；,两一般位置平面相交。,基本作图,可以利用辅助平面和辅助投影的方法使相交一方具有积聚性。,（3）求交线与已知直线的交点，此即所求。,（2）求辅助平面与已知平面（ABC）的交线（）；,求交点的步骤:（1）包含直线（MN）作辅助平面（Q）；,辅助平面法：通过已知直线做投影面垂直面，求出两平面的交线，此直线与原直线的交点即为所求的点。,(一
3、)一般线与一般面相交,(一)一般线与一般面相交,m,n,QV,解题步骤：1、过EF作正垂面Q。2、求Q平面与ABC的交线MN。3、求交线MN与EF的交点K。4、可见性判别,可见性判别方法,判别可见性的原理是利用重影点。,利用重影点判别可见性,f,e,e,f,b,a,a,c,b,c,k,k,(),(),线面交点法 三面共点法,求两平面的交线，只要求出两平面的两个公共点或一个公共点和交线的方向。,(二)两一般位置平面相交,求交线步骤：1、用直线与平面求交点的方法求两平面的共有点；,2、判别可见性。,线面交点法,判别两平面的可见性,（）,(),判别可见性的原理是利用重影点。,通过第三面找到三个平面的
4、共有点，找到两个这样的共有点，连接这两点，即为两平面的交线。,(三)三面共点法（两平面轮廓部分不直接相交）,PV,QV,l,k,k,l,b,c,c,d,a,d,e,a,b,e,f,f,g,h,g,h,1、直线与平面垂直,2、平面与平面垂直,、直线与平面以及两平面垂直,、直线与平面以及两平面垂直垂直的几何条件与投影特性,几何条件:直线必须垂直于该平面上的任意两相交直线,基本作图：,判别直线是否与平面垂直,过空间一点作已知平面的垂线,过空间一点作已知直线的垂面,一、直线与平面垂直,判别直线是否与平面垂直,1、几何条件,M,N,K,L1,L2,如果一直线垂直于平面内的一对相交直线，则此直线垂直于该平
5、面,如果一直线垂直于某平面，则此直线垂直于该平面内的任意直线,2、投影特性,D,A,B,C,M,N,如果一直线垂直于一平面，则该直线的正面投影垂直于该平面内正平线的正面投影，该直线的水平投影垂直于该平面内水平线的水平投影。,(直线垂直于一平面),【基本作图一】判别直线是否与平面垂直,EFABC,GHP平面,【基本作图二】过空间一点作已知平面的垂线,【基本作图三】过空间一点作已知直线的垂面,【例2.34】如图所示，过点A作一平面，平行于直线BC，垂直于DEF,b,b,c,c,f,a,a,d,f,e,e,d,h,g,h,g,2,1,2,1,二、平面与平面垂直,几何条件：一个平面上有一条直线垂直于另
6、一平面或一平面通过另一平面的法线。,基本作图：,判别两平面是否垂直,过空间一直线作已知平面的垂面,【基本作图一】判别两平面是否垂直,e,e,a,a,b,b,c,c,f,f,g,g,ABCEFG,【基本作图二】过空间一直线作已知平面的垂面,2.4.3.2 两元素中至少有一个处于特殊位置时，直线与平面以及两平面垂直,n,（1）特殊位置的直线与平面相互垂直,当直线垂直于某投影面垂直面时，则此直线必为该投影面平行线。,m,n,m,M,N,特殊位置的线面垂直问题,【例2.36】如图所示，过点A作正垂面CDE的垂线AB和垂足B，并确定点A与CDE平面的真实距离。,b,b,c,c,a,e,d,d,e,a,如
7、果一直线垂直于一平面，则包含此直线的一切平面都与该平面垂直。,(2)平面与平面垂直,几何条件,A,B,K,如果两平面互相垂直，则从一平面上任一点向另一平面所作的垂线必在前一平面上。,几何条件,L,K,L,【例2.37】如图所示，过直线AB作一般位置平面垂直于正垂面P，过点C作正垂面P的正垂面Q和正平面R。,b,b,c,c,a,a,PV,X,O,d,d,【例】过点K作一平面垂直平面ABCD。,k,k,b,a,a,b,d,c,c,d,1,2,1,2,e,e,例 包含直线MN作平面垂直于平面ABC。,b,a,a,b,c,c,m,n,n,m,l,l,面面相交为直线的性质,投影面平行面相交：,水平面与正
8、平面相交为侧垂线,水平面与侧平面相交为正垂线,侧平面与正平面相交为铅垂线,不同投影面的两平行平面相交为投影面垂直线,投影面平行面与投影面垂直面相交：,投影面平行面与另两投影面的垂直面的交线为投影面垂直线,投影面平行面与该面的垂直面的交线为投影面平行线,投影面平行面与一般位置平面相交：交线为投影面平行线,投影面垂直面与一般位置平面相交：交线为一般位置直线,四、综合作图题示例,1、审题 明确题意、已知条件和作图要求。2、空间分析 逆推分析法：假设满足题目要求的几何元素已经给出，将它和题目所给的几何元素一起，按题目要求的几何条件逐一分析，综合研究它们之间的相对位置和从属关系，进而探求由给定的几何元素
9、确定所求的几何元素的途径，进而得出解题方法。轨迹分析法：根据题目要满足的若干几何条件逐个地运用空间几何元素轨迹的概念，分析所求的几何元素在该条件下的空间几何轨迹，然后综合这些空间几何轨迹取公共元素，进而得出解题方案。3、确定作图步骤，运用基本作图完成投影图 解题方案选定后，就要决定作图步骤，先做什么，后做什么。并熟练运用各种基本作图方法，完成投影图。,c,【例1】求点C到直线AB的距离。,b,a,a,b,k,c,k,2,2,1,1,距离实长,2,【例2】求点K到平面ABC的距离。,c,b,a,a,b,k,c,k,2,1,1,l,l,求实长,距离实长,l,l,【例题3】已知直角三角形ABC的水平
10、投影，及直角边AB的V投影，试完成其正面投影。,作图步骤1、过点作直线AB的垂直面A；2、在垂直面A上，运用平面定线方法确定AC边；3、连线完成直角三角形ABC的投影。,【例题4】作一直线与两交叉直线AB和CD相交，同时与直线EF平行。,f,【例题5】过点N作直线，使其与ABC平行，且与直线EF相交。,e,f,f,e,m,m,a,b,b,a,c,c,作图步骤1、过点M作平面M平行于已知平面ABC；2、求平面M 与已知直线EF的交点N；3、连接MN,【例题6】过点K作直线KL与直线MN垂直，并与ABC平行。,作图步骤1、过MN 作平面 MNG垂直于平面ABC；2、过点K作直线KL垂直于平面MNG。,【例题7】已知直线AB与EFG平面的夹角为60，AB在EFG上的正投影为AC，求作AB的两投影。,ZC 1,【例题8】已知等边ABC与H面的倾角=30，试完成该等边ABC的两面投影。,等边ABC高BD的实长,ZBD,作图步骤1、求作等边高的实长2、直角三角形法求作的坐标差,【例题9】已知等腰的顶点和一腰DE在直线DG上，另一腰，且点在上，试完成的两面投影。,a,a,b,b,c,c,m,n,d,m,n,d,g,g,作图步骤：1、过D作平面D122、求D12与MN交点F3、求DF的实长4、在dg上，取DE=DF5、连接等腰三角形各条边，完成投影图,
