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1、13.1 命题、定理与证明,试判断下列句子是否正确（1）三角形的内角和等于180.()（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等()（3）两直线平行，同位角相等；()（4）直角都相等(),练一练,上面这些都是判断某一件事情的语句，像这样表示判断是正确的或是错误的句子叫做命题.,什么叫做命题,注意：,1、只要对一件事情做出了判断，不管它是正确的，还是错误的，它都是命题,2、如果一个句子没有对一件事情做出任何判断，那么它就不是命题。如：画直线AB,练一练,判断下列语句是不是命题？,1）长度相等的两条线段是相等的线段吗？（）,2）两条直线相交，有且只有一个交点（）,3）不相等的两个角不是对顶角（）,
2、4）一个平角的度数是180度（）,5）相等的两个角是对顶角（）,6）取线段AB的中点C（）,7）画两条相等的线段（）,不是,是,是,是,是,不是,不是,许多命题是由条件和结论两部分组成的。条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。,命题的构成,条件,结论,命题的形式,命题一般写成“如果.，那么.”的形式,条件,结论,如命题：对顶角相等。改写为：,如果两个角是对顶角，那么这两个角相等,添加“如果”、“那么”后，命题的意义不能改变，使句子通顺,注意：,把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成：“如果那么”的形式，并分别指出命题的条件和结论。,解：这个命题可以改写成“如果一个三角形的三个角
3、都相等，那么这个三角形是等边三角形.”该命题的条件是“一个三角形的三个角都相等”,结论是“这个三角形是等边三角形”.,例1,命题的分类,有些命题如果条件成立，那么结论一定成立；,如命题：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”。就是一个正确的命题,如命题：“如果两个角相等，那么它们是对顶角”；“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”等，就是错误的命题,错误的命题叫做假命题,正确的命题叫做真命题,而有些命题条件成立，结论不一定成立；,判断真假命题的方法,可以用逻辑推理的方法加以论证,例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只需举出一个反例“某一锐角与某一钝角的和不是18
4、0”即可,只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了,这种方法称为“举反例”,1、指出下列命题中的真命题和假命题:(1)同位角相等,两直线平行;(2)多边形的内角和等于180;(3)三角形的外角和等于360;(4)平行于同一条直线的两条直线互相平行。,(真),(假),练一练,(真),(真),假命题，92+30 180,假命题，只有两条直线平行时才对,假命题，30+50 80 90,数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.,2.公理、定理与证明,数学中有些命题可以从公理
5、或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。,公理：,定理：,公理、定理、命题的关系,命题,真命题,假命题,公理（正确性由实践总结）,定理（正确性通过推理证实）,常见的公理,1、直线公理：,两点确定一条直线。,2、线段公理：,两点之间，线段最短。,4、平行公理：,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。,5、平行线判定公理：,同位角相等，两直线平行。,3、垂直公理：,过直线外一点有且只有一条直线与已知这条平行。,常见的定理,1、补角的性质：,同角或等角的补角相等。,2、余角的性质：,同角或等角的余角相等。,3、对顶角的性质：
6、,对顶角相等。,4、垂线的性质：,垂线段最短。,5、平行公理的推论：,如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。,6、平行线的判定定理：,内错角相等，两直线平行。,同旁内角互补，两直线平行。,7、平行线的性质定理：,两直线平行，内错角相等。,两直线平行，同旁内角互补。,思考,（1）他的结论不正确，,因为23571113+1=30031=50959,（2）他的结论不正确，,因为钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形的外部。,（3）这一结论是正确的。,上面几个例子说明：通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实。,在很多情况下
7、，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断。,证明：,根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。,演绎推理是研究数学的一个重要方法。除了基本事实与已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据。例如，有了“三角形的内角和等于180”这条定理后，我们可以证明刻画直角三角形的两个锐角之间数量关系的命题：,直角三角形的两个锐角互余。,直角三角形的两个锐角互余。,已知：如图，在ABC中，C=90,求证：A+B=90.,A,B,C,证明：,A+B+C=180（三角形的内角 和等于180），,又C=90(已知），,A+B=18
8、0-C=90（等式的性质）,此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它作为定理。,读一读,证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已学过的定理，以及等式的性质、等量代换等。在书写证明过程中，要求把依据写在每一步推理后面的括号内，今后可以逐渐淡化。,课堂小结,1、命题：判断一件事情的语句叫命题。,（1）正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。（2）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成，常可写成“如果，那么”的形式。,2、公理：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假的根据的命题，叫做公理。,3、定理：经过推理论证为正确的命题叫定理。也可作为继续推理的依据。,4、判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用逻辑推理的方法证明（公理和定理都是真命题）；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。,
