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,4,泰勒公式与极值,高阶导数,中值定理和泰勒公式,问题,纯偏导,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,一、高阶偏导数,则,定理7.,证 令,例如,对三元函数 u=f(x,y,z),说明:,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数,在点(x,y,z)连续时,有,而初等,二、问题的提出,一元函数的泰勒公式：,二、中值定理和泰勒公式,显然 内可微,由中值定理,其中记号,表示,表示,一般地,记号,证,引入函数,显然,由 的定义及多元复合函数的求导法则,可得,利用一元函数的麦克劳林公式，得,其中,证毕,其中,上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.,例 6,解,其中,1、二元函数的泰勒公式；,四、小结,2、二元函数的拉格朗日中值公式；,3、阶麦克劳林公式；,练 习 题,练习题答案,
