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1、课程标准一、函数概念1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,3通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用4通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义5学会运用函数图象理解和研究函数的性质,二、基本初等函数()1指数函数通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，
2、药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型,2对数函数理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数
3、函数的单调性与特殊点知道指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，a1),三、函数的应用1函数与方程结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法2函数模型及其应用利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用,命题趋势1函数考查的重点是函数的概念、性质及其应用；
4、考查的热点是函数模型的应用、函数的图象与性质、函数与其它章节知识(如数列、方程、不等式、解析几何等知识)的交汇在考查函数知识的同时，又考查运用函数的思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力(1)函数的概念与函数的定义域、值域、函数解析式一般不会单独命题近几年来多在应用问题中对函数解析式与定义域进行考查，要求考生概括题意建立数学模型，写出函数解析式，这种把实际问题转化为数学问题的能力是考查的重点方向,(2)函数性质主要是单调性、奇偶性的考查，有时也涉及周期性要求考生会利用单调性比较大小，求函数最值与解不等式，并要求会用定义证明函数的单调性新课标对函数的奇偶性要求降低了很多，故应重点掌握其基
5、本概念和奇偶函数的对称性(3)函数的图象主要是在选择与填空题中考查用数形结合法解题和识图能力，大题常在应用题中给出图象据图象求解析式,2指数函数、对数函数是新课标考查的重要方面指数函数主要题型有：指数函数的图象与性质、幂值的大小比较、由指数函数复合而成的综合问题对数是常考常变的内容，主要题型是对数函数的图象性质、对数运算法则、对数函数定义域幂函数新课标要求较低，只要掌握幂函数的概念、图象与简单性质，仅限于几个特殊的幂函数反函数新课标比原大纲要求有较大幅度降低，只要知道指数函数与对数函数互为反函数及定义域、图象的关系即可，不宜过分延伸因此命题会主要集中在指数、对数的运算性质，指、对函数的图象与性
6、质及数值大小比较等问题上，结合数形结合、分类讨论、函数与方程的思想予以考查，与方程、不等式、分段函数、数列、导数、三角函数等相联系，仍将是命题的重点,3函数与方程、函数的应用主要考查(1)零点与方程实数解的关系(2)函数的概念、性质、图象和方法的综合问题(3)导数与零点的结合；方程、不等式、数列与函数的综合问题(4)函数与解析几何知识的综合问题(5)常见基本数学模型，如分段函数，增长率、幂、指、对等,备考指南1函数复习依据近几年高考试题的立意变化和新课标要求，应重视以下复习思路：深刻理解函数的概念、图象与性质，并能灵活运用这些知识去分析、解决有关问题及时归纳、总结常用的数学思想、方法、解题规律
7、，培养运用数学思想方法解决问题的能力针对函数实际应用题、探索性问题、代数推理问题以及与其它知识交汇的综合题，应加大训练力度，通过实战训练，达到培养数学能力的目的结合导数考查函数的单调性仍是命题的一个主要方向应重点训练结合具体的函数，在选择、填空题中灵活地考查函数的性质应予足够重视，应着重落实基本概念、原理在实际问题中的应用给出一个背景问题(或图象)，求出解析式，然后依据解析式讨论有关性质的问题应重点训练,2基本初等函数()的复习应狠抓基础知识的落实，重点掌握指数幂的运算法则，对数的定义、性质与运算法则及换底公式，指数函数的图象与性质，加强指对函数单调性与比较大小，奇偶性与图象对称特征，图象过定
8、点，单调性应用，对数函数定义域，互为反函数的两个函数图象、定义域、值域的关系及与二次函数、分式、指数复合的训练，加强客观题训练，难度不宜过大，适度进行综合训练3函数的应用复习应深刻理解方程的根与函数零点的关系，掌握二分法求方程近似解的方法，进一步培养数形结合及运用函数、方程的知识解决实际问题的能力加强对实际问题的理解，掌握建立数学模型的基本方法注意归纳掌握常见实际问题的数学模型,重点难点重点：映射与函数的概念函数的定义域、值域及求法分段函数难点：映射定义复合函数及分段函数,知识归纳1函数(1)传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，对于x在某个范围内的的值，按照某个对应法则f，y都有
9、确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记为yf(x)(2)近代定义：函数是由一个到另一个 的映射(3)函数的表示法有：,每一个确定,惟一,非空数集,非空数集,解析法、列表法、图象法,理解函数概念还必须注意以下几点：函数是一种特殊的映射，集合A、B都是非空的数的集合确定函数的映射是从定义域A到B上的映射，允许A中的不同元素在B中有相同的象，但不允许B中的不同元素在A中有相同的原象两个函数只要定义域、对应法则分别相同，这两个函数就相同函数的定义域是自变量x的取值范围，是函数的一个重要组成部分同一个对应法则，由于定义域不相同，函数的图象与性质一般也不相同,函数的图象可以是一条或几条平滑的曲线，也可以
10、是一些离散的点，一些线段等自变量为x时，f(a)的含义与f(x)的含义不同f(a)表示自变量xa时所得的函数值，它是一个常量；f(x)是x的函数，通常它是一个变量,2映射(1)映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的一个元素，在集合B中都有 的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，记作f：AB.(2)象和原象：给定一个集合A到B的映射，且aA，bB，如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象,任何,惟一,(3)已知f(x)的定义域是a，b，求fg(x)的定义域，是指满足ag(x)b的x的取值范围；已知fg(x)
11、的定义域是a，b指的是xa，b求f(x)的定义域，是指在xa，b的条件下，求g(x)的值域(4)实际问题或几何问题给出的函数的定义域：这类问题除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义(5)如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(6)求定义域的一般步骤：写出函数式有意义的不等式(组)；解不等式(组)；写出函数的定义域,4函数的值域(1)函数值域的定义在函数yf(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(2)确定函数值域的原则当函数yf(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中y的值的集合当函数yf
12、(x)的图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的值的集合当函数yf(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定当函数由实际问题给出时，函数的值域应结合问题的实际意义确定,(3)基本初等函数的值域ykxb(k0)的值域为R.yax(a0，且a1)的值域是(0，)ylogax(a0，且a1)的值域是R.ysinx，ycosx，ytanx的值域分别为1,1，1，1，R.,(4)求函数值域的常见方法直接法从自变量x的范围出发，通过观察和代数运算推出yf(x)的取值范围；配方法配方法是求“二次型函数”值域的基本方法，形如F(x)af 2(x)bf(x)c的函数的值域问
13、题，均可使用配方法,单调性法根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性求出函数的值域求导法当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值；数形结合法当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域,5求函数的解析式一般有四种情况根据某实际问题需建立一种函数关系式，这种情况需引入合适的变量，根据数学的有关知识找出函数关系式；有时题中给出函数形式，求函数的解析式，可用待定系数法，如函数是二次函数，可设为f(x)ax2bxc(a0)，其中a、b、c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a、b、c即可；换元法求解析式，已知fh(x)g(x
14、)求f(x)的问题，往往可设h(x)t，从中解出x，代入g(x)进行换元来解；,误区警示1映射的定义是有方向性的，即从集合A到B与集合B到A的映射是两个不同的映射2判断两个函数是否为同一个函数，紧扣函数的两个要素是解题关键只有定义域、对应法则相同的函数才是同一函数3复合函数求定义域时，常因不能深刻理解函数定义域的意义而致误，常见的是把已知f(x)的定义域求f(g(x)的定义域与已知fg(x)的定义域求f(x)的定义域混淆4解题过程中忽视定义域的限制作用致误5忽视实际问题的实际意义的限制作用,6换元法求解析式或函数值域，换元后易漏掉考虑新元的取值范围7求函数值域时，不但要重视对应法则的作用，而且
15、要特别注意定义域的制约作用如已知f(x)log3xx1,9，求函数yf(x2)f 2(x)的值域时，函数yf(x2)f 2(x)的定义域不再是x1,9而是x1,38判别式法求值域对端点要进行检验9利用均值不等式时求值域时，要注意必须满足已知条件和不等式一端是常数，等号能成立，还要注意符号,10熟练掌握求函数值域的几种常用方法，要注意这些方法分别适用于哪些类型的函数,一、定义法用数学概念的基本定义解决相关问题的方法，称之为定义法利用定义解题的关键是把握住定义的本质特征二、求函数解析式常用的方法1配凑法当已知函数表达式比较简单时，可直接应用此法即根据具体解析式凑出复合变量的形式，从而求出解析式2换
16、元法已知f(g(x)是关于x的函数，即fg(x)F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)t，由此能解出x(t)将x(t)代入fg(x)F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得f(x)的解析式注意，换元后要确定新元t的取值范围,例1已知f(1cosx)sin2x，求f(x)解析：令t1cosx，则cosx1tsin2x1cos2x1(1t)2t22tf(x)x22x但t1cosx0,2f(x)x22xx0,2,3待定系数法若已知函数的结构形式，则可用此法例2设二次函数f(x)满足f(x2)f(2x)，且f(x)0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式解析：设
17、f(x)ax2bxc(a0)由f(x2)f(2x)知，该函数的图象关于直线x2对称,由、得a1，b4，c3(a0应舍去)f(x)x24x3,点评：充分抓住已知条件式的结构特征，运用x取值的任意性获得式是解决此题的关键若已知2f(x)f(x)2x1，你会求f(x)吗？,5赋值法此类解法的依据是：如果一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切值都成立，则对该范围内的某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当取值，从而使问题简单化、具体化，从而获解例4已知f(0)1，f(ab)f(a)b(2ab1)，求f(x)解析：令a0，则f(b)f(0)b(b1)1b(b1)b2b1再令bx得：f(x)
18、x2x1.,点评：赋值法的关键环节是“赋值”，赋值的方法灵活多样，既要照顾到已知条件的运用和待求结论的产生，又要考虑所给关系式的结构特点如本题另解：令ba，则1f(0)f(a)a(2aa1)f(a)a(a1)f(a)a2a，f(a)a2a1，f(x)x2x1.,三、解题技巧1分段函数在定义域上单调时要特别注意分界点,解析：解法1：当x1时，logax0，若为R上的减函数，则(3a1)x4a0在x0在x1上恒成立，故3a10且g(1)0，,点评：f(x)在R上单减，a的取值不仅要保证(，1)和1，)上单减，还要保证x1f(x2),2运用不同方法求函数的值域分析：本题中函数的定义域为R，且分子、分
19、母中至少有一个为关于x的二次式，所以可用判别式法；但注意到分子为x的一次式，可在x0时，分子、分母同除以x，用均值定理去求解；导数法更具有一般性,令y0，得x2，y与y的变化见下表：,分析：判断两函数yf(x)和yg(x)是否为同一函数的依据为：定义域、对应法则是否完全相同，若有一方面不同，则它们不是同一函数解析：(1)函数的定义域、对应法则均相同，所以是同一函数它们的定义域不同，所以它们不是同一函数(4)去掉绝对值号可知f(x)与g(x)是同一函数,总结评述：(1)第(1)小题易错判断为它们不是同一函数，错误的原因在于没能真正理解函数的概念实际上，在函数的定义域与对应法则f不变的条件下，自变
20、量用何字母表示，并不影响函数关系的确定(3)当一个函数的对应法则和定义域确定后，其值域随之得到确定，故函数的三要素(定义域、值域、对应法则)可简化为两要素(定义域、对应法则)，所以两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时为同一函数,Cyf(x)与yf(x1)Df(x)|x|x1|，g(x)2x1,C值域相同，但定义域未必相同，且对应法则不同，g(x)的图象可由f(x)图象向左平移一个单位得到，因此f(x)与g(x)的图象不重合，故C也排除；答案：B,例2如图所示，三个图象各表示两个变量x，y的对应关系，则有()A都表示映射，且表示y为x的函数B都表示y是x的函数C仅表示y是x的函数D都不能表示y
21、是x的函数,解析：据映射及函数的定义，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应在3个图象中，不能表示映射，也不能表示函数；是映射，也是函数答案：C点评：欲判断对应f：AB是否是从A到B的映射，必须做两点工作：明确集合A、B中的元素根据对应判断A中的每个元素是否在B中能找到唯一确定的对应元素.,A(，20,10B(，20,1C(，21,10D2,01,10,解析：当x1时，f(x)1(x1)21x2或x0，x2或0 x1.x10，1x10.综上所述，可得x2或0 x10.故选A.答案：A,分析：解含函数符号“f”的不等式，一般是用单调性求解观察函数f(x)的表达式不难发现x0时，x21
22、1，且f(x)x21在0，)上单调增，又x0时，f(x)1，f(x)在R上单调递增,对任意x1，x2R，当x1f(x2)时，应有x1x2.(否则，若x1x2，则f(x1)f(x2)，若x1f(x2)矛盾)f(1x2)f(2x)，1x22x，,A(，1)(1，)B(，1)1，)C(，3)(1，)D(，3)1，),答案：B点评：分段函数是近年来高考命题的热点，常见题型有：给出分段函数求某函数值(直接得出，或通过递推后得出)；分段函数解方程或解不等式，化为方程组或不等式组求解，有时先讨论值域再依据值域等价转化；由分段函数的图象求解析式；分段函数的单调性、奇偶性等等.,Ax|x0 Bx|x1Cx|x1
23、0 Dx|0 x1A0,1 B0,1)C0,1)(1,4 D(0,1),答案：(1)C(2)B,点评：对于复合函数yfg(x)，若f(x)定义域为A，则fg(x)中，g(x)A，由此求出x的取值范围为yfg(x)的定义域,答案：A,例5(2010山东文，3)函数f(x)log2(3x1)的值域为()A(0，)B0，)C(1，)D1，)分析：这是一个指数函数与对数函数的复合函数求值域问题，可先求出u3x1的值域M，再在UM条件下，求ylog2U的值域解析：3x03x11log2(3x1)log210，选A.答案：A,A0，)B0,4C0,4)D(0,4)答案：C,点评：1.复合函数求值域是一种基
24、本题型，解题的关键是熟悉各种基本函数的性质，熟练的将复合函数化归为基本函数，利用基本函数的性质求解一次、二次、分式、无理、绝对值、指数、对数、三角等都可以复合到一起,例6等腰梯形ABCD的两底分别为AD2a，BCa，BAD45，作直线MNAD线段交AD于M，交折线ABCD于N，记AMx，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域,(1)当M位于点H的左侧时，N在AB上，由于AMx，BAD45.MNx.,点评：求由实际问题确定的函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义如本题使函数解析式有意义的x的取值范围是xR，但实际问题的意义是线段A
25、M的长度x为正数，且最长不超过AD的长度2a，这就是实际问题对变量的制约这类函数与几何结合的小综合题，考查数形结合的能力和思维的严密性以及解决实际问题的能力，符合新课改的要求，将成为今后高考的热点,若一本书的成本价是5元，现有甲、乙两人来买书，每人至少买1本，两人共买60本，问出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？,分析：甲、乙共买60本，若甲买n本，则乙买(60n)本，由C(n)的定义和nN*找出n的取值范围和分界点，然后确定其解析式，在每一段上求得最值后，比较得出结果解析：设甲买n本书，则乙买(60n)本(不妨设甲买的书少于或等于乙买的书)，则n30，nN*.当1n11且nN*时，496
26、0n59，出版公司赚的钱数f(n)12n10(60n)5602n300；,当12n24且nN*时，3660n48，出版公司赚的钱数f(n)12n11(60n)560n360；当25n30且nN*时，3060n35，出版公司赚的钱数f(n)1160560360.,当1n11时，302f(n)322；当12n24时，372f(n)384；当25n30时，f(n)360.故出版公司最少能赚302元，最多能赚384元.,例7某医药所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示曲线(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液
27、中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天第一次服药为700，问一天中怎样安排服药时间、次数效果最佳？,因而第二次服药应在10 00.设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药后的含药量的和，即：,解得t27(小时)，即第三次服药应在1400.设第四次服药应在第一次服药后t3小时(t38)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，解得t310.5(小时)即第四次服药应在17 30.,(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为_(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学
28、生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过_小时后，学生才能回到教室解析：由图象可知，当0t0.1时，y10t；,(2)设f(x)axb，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2baxb5a2x17，a2，b7，故f(x)2x7.,f(x)为二次函数且f(0)3，f(x2)f(x)4x2，则f(x)_.解析：设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x2)f(x)4ax4a2b4x2.答案：x2x3,一、选择题1(文)(2010广东文，2)函数f(x)lg(x1)的定义域是()A(2，)B(1，)C1，)D2，)答案B解析对数函数真数大于零，即x1，故选B.,Ax|x0 Bx|x1
29、Cx|x1或x0 Dx|0 x1答案B,A1 B0C1D3答案C解析f(9)f(6)f(3)f(0)f(3)log331.,答案C解析f(0)2012，f(2)42a4a，a2.,A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)答案C解析解法1：由图象变换知函数f(x)图象如图，且f(x)f(x)，即f(x)为奇函数，f(a)f(a)化为f(a)0，当x(1,0)(1，)，f(a)f(a)，故选C.,答案B,答案A,答案2解析f(0)2，f(2)42a，42a4a，a2.,A2B3C4D5答案D,2点P是球O的直径AB上的动点，PAx，过点P且与AB垂直的截面面
30、积记为y，则yf(x)的大致图象是()答案A解析解法1：设球半径为R，截面圆半径为r，则r2x(2Rx)f(x)r2x(2Rx)，选A.,解法2：先从起始点排除B、D选项，再用验证法，当点P与球心重合时，y等于大圆面积，取最大值，当点P经过直径AB上靠近A的四等分点时，截面的面积大于大圆面积的一半，即可判定A正确,答案C解析函数在0，上的解析式为,点评这类题目解决的基本方法通过分析变化趋势或者一些特殊的点，采用排除法；或求函数解析式,4如图，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M、N.设BPx，MNy，则函数yf(x)
31、的图象大致是(),答案B解析解法1：取AA1、CC1的中点E、F，EF交BD1于O，则EFAC，ACBD，ACBB1，AC平面BDD1B1，EF平面BDD1B1，平面BED1F平面BDD1B1，过点P作MNEF，则MN平面BDD1B1，不难看出当P在BO上时，y是x的一次增函数，当P在OD1上时，y是x的一次减函数，故选B.,A(1,10)B(5,6)C(10,12)D(20,24)答案C,解析画出函数的图象，由题意不妨设abc，f(a)f(b)f(c)，必有0ab10，|lga|lgb|，lgalgb，lg(ab)0，ab1，又c的取值范围是(10,12)，所以abc的取值范围是(10,12),6(2010北京崇文区)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”已知函数解析式为f(x)2x21，值域为1,5,19的“孪生函数”共有_个答案9,
