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1、1.14 条件概率 全概率公式,太原理工大学 数学学院,1.4.1 条件概率 乘法公式 事件的相互独立性,某工厂甲、乙两个车间生产同一种产品,1.条件概率,情况如下：,现从中随机抽取一件产品，已知抽的产品,概率是多大？这种概率是在一定条件下记,是由甲车间生产的，问该产品是二级品的,算的，即已知是甲车间生产的条件下求抽,得二级品的概率，这种概率称为条件概率.,甲车间产品的条件下，抽得二级品的条件,如果用 表示“抽得甲车间产品”这一事件,表示“抽得二级品”这一事件，则已知抽得,若不知是哪个车间生产的，则抽得二级品,的概率为,抽得甲车间产品的概率为,概率记为 由表中数据容易算得,抽得既是甲车间的产品
2、，又是二级品的概,率为,容易验证，以上各概率之间满足关系式：,一般情况下上式都成立，故可定义在事件,发生的条件概率为,.,发生的前提下事件 发生的条件概率为,类似可定义在事件 发生的条件下事件,例1 设某种动物能活到20岁的概率为0.8,个20岁的这种动物，问它能活到25岁的概,，能活到25岁的概率为0.4.如果现在有一,率是多少？,解 设 表示事件“能活到20岁”，表示事,件“能活到25岁”，由已知:,且 从而所求的概率为,2.乘法公式,由条件概率公式可得,较复杂的事件的概率，它可以推广到有限,乘法公式在有些问题中有助于计算比,这一公式称为概率运算的乘法公式。,多个事件的情形。,例2 在10
3、0件产品中有5件是次品，从中连,的概率。,续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品,表示“第三次才取到次品”，则,解 设 表示“第 次取到次品”,3.事件的相互独立性,的定义,（有放回取球问题），相当,生无关。此时对应的乘法公式,成为。下面给出事件独立,发生条件下事件 发生的概率是相等的.,于无条件概率，即 发生的概率与 是否发,有的问题中事件 发生的概率，与事件,按照定义，必然事件 及不可能事件,，则.,定义1 对事件 及,若,与任何事件独立.若 与 独立，,与，与，与 都是相互独立的.,则称 和 独立.,定理1 若事件 与 是相互独立的，则,其余两个类似可证。,（1）,（2）,证明 我们仅证
4、明 与 是相互独立的,对三个事件，如果成立,（3）,（4）,，如果对任一组，（2sn）,我们称 是相互独立的。,，是1到 中不同整数，等式,类似的，对于 个随机事件,们中的任意几个也是相互独立的。,例3 一个均匀的正四面体，将第一面染,色，第四面同时染上红、白、黑三种颜色,成红色，第二面染成白色，第三面染成黑,面体时红、白、黑颜色着地的事件，故,总成立，则称 是相互独立的。,容易理解，若 相互独立，则它,，如果以 分别表示投掷一次正四,但它们是两两独立的。,所以 三事件不是相互独立的，,对于多个随机事件，若 是,概率为,相互独立的，则事件中至少有一个发生的,例4 对于元件或由元件组成的系统，能
5、,设某系统有 6个元件按两种不同方式连接,正常工作的概率叫元件或系统的可靠性.,成两个系统：系统（图 1-4）和系统,，试比较系统和系统的可靠性大小？,（图1-5），且各元件能否正常工作是相互,独立的，每个元件的可靠性均为,图1-4 图1-5,解 设 表示“元件正常工作”，表,示“元件正常工作”（i=1,2,3），对于系,正常工作，其可靠性各为,统，用 分别表示所有 和所有,由于两条通路并联而成，若其中至少有一,条正常工作，则此系统就正常工作，故系,统的可靠性为,路，能提高系统的可靠性.,注意到,故，这表示增加一条通,由于系统是由这三对并联元件串联而成，,故其可靠性为,显然，由 故,常工作”，
6、其可靠性为,而两系统都是由 个可靠性相同的元件,组成，但由于连接方式不同，系统 的可,例5 若有个人的呼吸道中有感冒病毒的,靠性大于系统的可靠性.,概率为0.002，求在有1500人看电影的剧场,冒”，假定每个人是否带有感冒病毒是相互,中有感冒病毒的概率。,独立的，则所求概率为,解 以 表示事件“第 个人带有病毒感,从这个例子可见，虽然每个人带有感,大，这种现象称为小概率事件的效应。卫,起时空气中含有感冒病毒的概率可能会很,冒病毒的可能性很小，但许多人聚集在一,生常识中，不让婴儿到人多的公共场所去,就是这个道理。,是非常重要的，错误的理解往往导致错误,在概率论中，对问题文字描述的理解,的答案.
7、例如掷两次硬币，其中一个出现,正面，问另一个也是正面的概率。答案是,的解法同样得到这个结果.若问题变为：,而不是.这时样本空间为,所求事件的样本点为.用条件概率,已知第一个是正面，求第二个也是正面的,1.4.2 全概率公式 贝叶斯公式,概率，由独立性知概率是.,1.全概率公式,分别计算这些简单事件的概率，利用概率,会把它分解为若干个简单事件的和，通过,对于比较复杂事件概率的计算，经常,的可加性计算出所求事件的概率.,设事件 是 的一个划分，即,两两相斥，且，则,由概率的可加性和概率的乘法公式,上述公式称为概率运算的全概率公式.,例6 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同,品占30%，丙厂产品占20%
8、，甲厂产品中,时生产的。其中甲厂产品占50%，乙厂产,正品率为95%，乙厂产品正品率为90%，,概率有多大？,中随机抽取一件，试计算该产品是正品的,丙厂产品正品率为85%，如果从这批产品,，,概率：,解 设 分别表示抽得产品是甲,厂、乙厂、丙厂生产的，表示抽得的产品,为正品，则由已知，,，从而任取一件产品为正品的,下面再看一个实际生活中常见的例子,个人得到，现实生活中通常用的办法就是,在我们国家，“抓阄”这个概念应该是人人熟,悉的。比方说：个人要分一头牛，只能一,利用 个纸团来抓阄.通过计算可以看到，,用这种方法对先抓的和后抓的每个人都是,公平的.,这一事件，由于抓阄过程是无放回的，所,由全概
9、率公式可得第二人分到牛的概率,以第一人分到牛的概率为,假设用 表示“第 个抓阄的人分到牛”,类似可得,由此可见，每个人分到牛的概率是相等的,，不论是先抓还是后抓，概率都是，故,对每个人都是公平的，这也是实际生活中,2.贝叶斯公式,被人们所接受的.,设事件 是 的一个划分.,则 发生条件下 发生的条件概率为,由乘法公式和全概率公式可得,该公式称为贝叶斯（Bayes）公式.,通常认为 是导致试验结,验产生了结果，探究它发生的原因，称,果 的原因，称 为先验概率，若试,条件概率 为后验概率，它反映了试,例，正品率都不变，而且已知随机抽出来,在例6中，如果甲、乙、丙三厂产品比,验之后各种原因发生的可能
10、性大小.,的一件产品是正品，现在要问这件正品是,甲厂生产的概率有多大？,例7 假定具有症状 中一个,促”，表示“发热”。现从20000份患有疾,“食欲不振”，表示“胸痛”表示“呼吸急,或数个的疾病为，其中，表示,病的病历卡中统计得到下列数字：,是多少？在没有别的可资依据的诊断手段,情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪,求诊断时，他患有疾病 的可能性,试问当一个具有 中症状的病人前来要,一种较合适？,由统计数字可知,用事件的频率作为概率的近似是合理的，,些症状”，表示事件“患者患有疾病”,，由于该问题观察的个数很多，,解 以 表示事件“患者出现 中的某,从而,由贝叶斯公式可得,段的条件下，由于,疾病 的概率。在没有别的诊断手,这就是当病人出现 中症状的情况下患有,犯错误，但在没有其它资料可依据的条件,按照事件发生的最大概率作出决策可能会,作出判断的方法称为贝叶斯决策。当然，,病 的判断比较合理.这种根据后验概率,下，作出 或 的决策比作出 的决策来,这表示在出现 中症状的前提下，患有疾病,的可能性最大，因此认为该病人患有疾,犯错误的可能性更大，因而作出决策 是,人们应用的.,最优的.这种推理方法实际上也是经常被,
