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1、第二章 初等模型,2.1 公平的席位分配2.2 录像机计数器的用途2.3 双层玻璃窗的功效2.4 汽车刹车距离2.5 划艇比赛的成绩2.6 实物交换2.7 核军备竞赛2.8 启帆远航2.9 量纲分析与无量纲化,2.1 公平的席位分配,问题,三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。,现因学生转系，三系人数为103,63,34,问20席如何分配。,若增加为21席，又如何分配。,比例加惯例,对丙系公平吗,“公平”分配方法,衡量公平分配的数量指标,当p1/n1=p2/n2 时，分配公平,p1/n1 p2/n2 对A的绝对不公平度
2、,p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10,p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100,p1/n1 p2/n2=5,但后者对A的不公平程度已大大降低!,虽二者的绝对不公平度相同,若 p1/n1 p2/n2，对 不公平,A,p1/n1 p2/n2=5,公平分配方案应使 rA,rB 尽量小,设A,B已分别有n1,n2 席，若增加1席，问应分给A,还是B,不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2，即对A不公平,对A的相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义 rB(n1,n2),将一次性的席位分配转化
3、为动态的席位分配,即,“公平”分配方法,若 p1/n1 p2/n2，定义,1）若 p1/(n1+1)p2/n2，,则这席应给 A,2）若 p1/(n1+1)p2/n2，,3）若 p1/n1 p2/(n2+1)，,应计算rB(n1+1,n2),应计算rA(n1,n2+1),若rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),则这席应给,应讨论以下几种情况,初始 p1/n1 p2/n2,问：,p1/n1p2/(n2+1)是否会出现？,A,否!,若rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),则这席应给 B,当 rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),该席给A,该席给A,否则,该席给B,推广到m方
4、分配席位,该席给Q值最大的一方,Q 值方法,三系用Q值方法重新分配 21个席位,按人数比例的整数部分已将19席分配完毕,甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3,用Q值方法分配第20席和第21席,第20席,第21席,同上,Q3最大，第21席给丙系,甲系11席，乙系6席，丙系4席,Q值方法分配结果,公平吗？,Q1最大，第20席给甲系,进一步的讨论,Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？,席位分配的理想化准则,已知:m方人数分别为 p1,p2,pm,记总人数为 P=p1+p2+pm,待分配的总席位为N。,设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,nm(自
5、然应有n1+n2+nm=N)，,记qi=Npi/P,i=1,2,m,ni 应是 N和 p1,pm 的函数，即ni=ni(N,p1,pm),若qi 均为整数，显然应 ni=qi,qi=Npi/P不全为整数时，ni 应满足的准则：,记 qi=floor(qi)向 qi方向取整；qi+=ceil(qi)向 qi方向取整.,1)qi ni qi+(i=1,2,m),2)ni(N,p1,pm)ni(N+1,p1,pm)(i=1,2,m),即ni 必取qi,qi+之一,即当总席位增加时，ni不应减少,“比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2）,Q值方法满足 2）,但不满足 1）。令人遗憾！,问题,在一次
6、使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？,要求,不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。,思考,计数器读数是均匀增长的吗？,2.2 录像机计数器的用途,经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。,录像机计数器的工作原理,录像带运动,问题分析,观察,计数器读数增长越来越慢！,模型假设,录像带的运动速度是常数 v；,计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn；,录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w；,空右轮盘半径记作 r；,时间 t=0 时读数 n=0.,建模目的,建立时间t与
7、读数n之间的关系,（设v,k,w,r为已知参数）,模型建立,建立t与n的函数关系有多种方法,1.右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi,m圈的总长度等于录像带在时间t内移动的长度vt,所以,2.考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚度乘以转过的长度，即,3.考察t到t+dt录像带在右轮盘缠绕的长度，有,模型建立,思 考,3种建模方法得到同一结果,但仔细推算会发现稍有差别，请解释。,模型中有待定参数,一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。,思 考,参数估计,另一种确定参数的方法测试分析,将模型改记作,只需估计 a,b,理论上，已知t=184,n=6061,再有一组(t,n)数据即可,实际上，由
8、于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合,现有一批测试数据：,用最小二乘法可得,模 型 检 验,应该另外测试一批数据检验模型：,模 型 应 用,回答提出的问题：由模型算得 n=4450 时 t=116.4分，剩下的录像带能录 184-116.4=67.6分钟的节目。,揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。,问题,双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失,假设,热量传播只有传导，没有对流,T1,T2不变，热传导过程处于稳态,材料均匀，热传导系数为常数,建模,热传导定律,Q 单位时间单位面积传导的热量,T温差,d材料厚
9、度,k热传导系数,2.3 双层玻璃窗的功效,Ta,Tb,记双层玻璃窗传导的热量Q1,Ta内层玻璃的外侧温度,Tb外层玻璃的内侧温度,建模,记单层玻璃窗传导的热量Q2,双层与单层窗传导的热量之比,k1=410-3 8 10-3,k2=2.510-4,k1/k2=16 32,对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，,取k1/k2=16,建模,模型应用,取 h=l/d=4,则 Q1/Q2=0.03,即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失。,结果分析,Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数 k2,而这要求空气非常干燥、不流通。,房间通过天花板、墙壁 损失的热量更多。
10、,双层窗的功效不会如此之大,2.4 汽车刹车距离,美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：,背景与问题,正常驾驶条件下,车速每增10英里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。,实现这个规则的简便办法是“2秒准则”：,后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何,判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样；,建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。,问题分析,常识：刹车距离与车速有关,10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(9米),车身的平均长度15英尺(=4.6米),“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同,刹车距离,反应时间,司机状况,制动系统灵
11、活性,制动器作用力、车重、车速、道路、气候,最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。,车速,假 设 与 建 模,1.刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和,2.反应距离 d1与车速 v成正比,3.刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;,F d2=m v2/2,F m,t1为反应时间,且F与车的质量m成正比,反应时间 t1的经验估计值为0.75秒,参数估计,利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k,模 型,最小二乘法 k=0.06,“2秒准则”应修正为“t 秒准则”,模 型,2.5 划艇比赛的成绩,对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比
12、较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。,问题,准备,调查赛艇的尺寸和重量,问题分析,前进阻力 浸没部分与水的摩擦力,前进动力 浆手的划浆功率,分析赛艇速度与浆手数量之间的关系,赛艇速度由前进动力和前进阻力决定,对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定,运用合适的物理定律建立模型,模型假设,1）艇形状相同(l/b为常数),w0与n成正比,2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比,符号：艇速 v,浸没面积 s,浸没体积 A,空艇重 w0,阻力 f,浆手数 n,浆手功率 p,浆手体重 w,艇重 W,艇的静态特性,艇的动态特性,3）w相同，p不变，p与w成正比,浆手的特征,模型建立
13、,f sv2,p w,s1/2 A1/3,A W(=w0+nw)n,np fv,模型检验,利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型 t n 1/9 进行检验,与模型巧合！,问题,甲有物品X,乙有物品Y,双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。,用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0,乙占有Y的数量为y0,作图：,若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y),都是一种交换方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y),2.6 实物交换,甲的无差别曲线,分析与建模,如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即p
14、1,p2对甲是无差别的，,线上各点的满意度相同,线的形状反映对X,Y的偏爱程度，,比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。,无差别曲线族的性质：,单调减(x增加,y减小),下凸(凸向原点),互不相交,在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的 y换取较少的 x;,在p2点占有y少、x多，就要以较多的 x换取较少的 y。,甲的无差别曲线族记作,f(x,y)=c1,c1满意度,（f 等满意度曲线）,乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同）,双方的交换路径,乙的无差别曲线族 g=c2(坐标系xOy,且反向）,甲的无差别曲线族
15、f=c1,双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上,因为在AB外的任一点p,(双方)满意度低于AB上的点p,两族曲线切点连线记作AB,p,交换方案的进一步确定,交换方案 交换后甲的占有量(x,y),0 xx0,0yy0矩形内任一点,交换路径AB,等价交换原则,X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为,(x0,0),(0,y0)两点的连线CD,AB与CD的交点p,设X单价a,Y单价b,则等价交换下ax+by=s(s=ax0=by0),2.7 核军备竞赛,冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。,随着前苏联的解体和冷战的结束
16、，双方通过了一系列的核裁军协议。,在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。,当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。,估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。,背景,以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。,假定双方采取如下同样的核威慑战略：,认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；,乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。,在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。,摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方
17、的攻击精度和另一方的防御能力决定。,模型假设,图的模型,y=f(x)甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数,x=g(y)乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数,当 x=0时 y=y0，y0乙方的威慑值,y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数,P(xm,ym),乙安全区,甲安全区,双方安全区,P平衡点(双方最少导弹数),乙安全线,精细模型,乙方残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。,sx个基地未摧毁，yx个基地未攻击。,xy,甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个,y0=sx+yx,x=y,y0=sy,乙的xy个被攻击2次，s2(x
18、y)个未摧毁；y(xy)=2y x个被攻击1次，s(2y x)个未摧毁,y0=s2(xy)+s(2y x),x=2y,y0=s2y,yx2y,a交换比(甲乙导弹数量比),x=a y,精细模型,x=y,y=y0/s,x=2y,y=y0/s2,y0威慑值,s残存率,y是一条上凸的曲线,y0变大，曲线上移、变陡,s变大，y减小，曲线变平,a变大，y增加，曲线变陡,xy,y=y0+(1-s)x,yx2y,甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标,乙方威慑值 y0变大,甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。,（其它因素不变）,乙安全线 y=f(x)上移,模型解释,平衡点PP,甲方将固定核导弹基地改进为
19、可移动发射架,乙安全线y=f(x)不变,甲方残存率变大,威慑值x 0和交换比不变,x减小，甲安全线x=g(y)向y轴靠近,模型解释,甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少,PP,双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标,(x,y仍为双方核导弹的数量),双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加,y0减小 y下移且变平,a 变大 y增加且变陡,双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析,模型解释,乙安全线 y=f(x),帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向,简化问题,海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B点，确定起航时的航向，,2.8 启帆远航,模型分析,风(通过帆)
20、对船的推力w,风对船体部分的阻力p,推力w的分解,阻力p的分解,p=p1+p2,模型假设,w与帆迎风面积s1成正比，p与船迎风面积s2成正比，比例系数相同且 s1远大于 s2，,f1航行方向的推力,p1 航行方向的阻力,w1=wsin(-),f1=w1sin=wsin sin(-),p1=pcos,模型假设,w2与帆面平行，可忽略,f2,p2垂直于船身，可由舵抵消,模型建立,w=ks1,p=ks2,船在正东方向速度分量v1=vcos,航向速度v与力f=f1-p1成正比,v=k1(f1-p1),2)令=/2,v1=k1 w(1-cos)/2-pcoscos 求使v1最大（w=ks1,p=ks2）
21、,1)当固定时求使f1最大,f1=wcos(-2)-cos/2,=k1(f1-p1)cos,f1=w1sin=wsin sin(-),p1=pcos,求,使 v1最大,模型建立,v1=vcos,模型求解,60 75,1 t 2,备注,只讨论起航时的航向，是静态模型 航行过程中终点B将不在正东方,记 t=1+2s2/s1,k2=k1w/2,=(k1w/2)1-(1+2p/w)coscos,w=ks1,p=ks2,1/4cos 1/2,模型求解,v1=k1 w(1-cos)/2-pcoscos,s1 s2,2.9 量纲分析与无量纲化,物理量的量纲,长度 l 的量纲记 L=l,质量 m的量纲记 M=
22、m,时间 t 的量纲记 T=t,动力学中基本量纲 L,M,T,速度 v 的量纲 v=LT-1,导出量纲,加速度 a 的量纲 a=LT-2,力 f 的量纲 f=LMT-2,引力常数 k 的量纲 k,对无量纲量，=1(=L0M0T0),2.9.1 量纲齐次原则,=fl2m-2=L3M-1T-2,量纲齐次原则,等式两端的量纲一致,量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系,例：单摆运动,求摆动周期 t 的表达式,设物理量 t,m,l,g 之间有关系式,1,2,3 为待定系数，为无量纲量,(1)的量纲表达式,对比,对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2，p1=f(x1,y1,
23、z1),p2=f(x2,y2,z2),为什么假设这种形式,设p=f(x,y,z),x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍,单摆运动中 t,m,l,g 的一般表达式,设 f(q1,q2,qm)=0,ys=(ys1,ys2,ysm)T,s=1,2,m-r,F(1,2,m-r)=0 与 f(q1,q2,qm)=0 等价,F未定,Pi定理(Buckingham),是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,Xn 是基本量纲,nm,q1,q2,qm 的量纲可表为,量纲矩阵记作,g=LT-2,l=L,=L-3M,v=LT-1,s=L2,f=LMT-2,量纲分析示例：波浪对航船的阻力,航船阻力 f,航船速度v,船
24、体尺寸l,浸没面积 s,海水密度,重力加速度g。,m=6,n=3,Ay=0 有m-r=3个基本解,rank A=3,rank A=r,Ay=0 有m-r个基本解,ys=(ys1,ys2,ysm)T s=1,2,m-r,F(1,2,3)=0与(g,l,v,s,f)=0 等价,为得到阻力 f 的显式表达式,F=0,未定,F(1,2,m-r)=0 与 f(q1,q2,qm)=0 等价,量纲分析法的评注,物理量的选取,基本量纲的选取,基本解的构造,结果的局限性,()=0中包括哪些物理量是至关重要的,基本量纲个数n;选哪些基本量纲,有目的地构造 Ay=0 的基本解,方法的普适性,函数F和无量纲量未定,不
25、需要特定的专业知识,2.9.2 量纲分析在物理模拟中的应用,例:航船阻力的物理模拟,通过航船模型确定原型船所受阻力,模型船的参数(均已知),可得原型船所受阻力,已知模型船所受阻力,原型船的参数(f1未知，其他已知),注意：二者的相同,按一定尺寸比例造模型船，量测 f，可算出 f1 物理模拟,2.9.3 无量纲化,例：火箭发射,星球表面竖直发射。初速v,星球半径r,表面重力加速度g,研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律,t=0 时 x=0,火箭质量m1,星球质量m2,牛顿第二定律，万有引力定律,3个独立参数,用无量纲化方法减少独立参数个数,用参数r,v,g的组合,分别构造与x,t具有相同量纲的xc,tc（特征尺度）,无量纲变量,如,令,xc,tc的不同构造,1）令,为无量纲量,3）令,2）令,1）2）3）的共同点,重要差别,考察无量纲量,在1）2）3）中能否忽略以为因子的项？,1),无解,2),3),原问题,是原问题的近似解,为什么3)能忽略项，得到原问题近似解，而1)2)不能?,3）令,火箭到达最高点时间为v/g,高度为v2/2g,大体上具有单位尺度,林家翘：自然科学中确定性问题的应用数学,
