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1、第二节 函数的极限,自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限函数极限的性质小结,播放,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,通过上面演示实验的观察:,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,1、定义,3、几何解释:,例1,证,例2,证,二、自变量趋向有限值时函数的极限,1、定义：,2、几何解释:,注意：,例3,证,例4,证,例5,证,函数在点x=1处没有定义.,例6,首先限制，则容易得出,则：,所以只要 即,取 则当 时，就有,例7(选）,证,3.单侧极限:,例如,左极限,右极限,注意：给出了验证函数（特别是分段函数）极限存在性的方法,例8.讨论当 时函数 极限的存在性。,解
2、：由于,所以,左右极限存在但不相等,例9,证,例10、设函数，求,解、,因为左右极限存在并且相等，所以,注：当 时，的极限存在与否与函数在 点处是否有定义无关。,三、函数极限的性质,1.有界性(局部有界性),2.唯一性,若 存在，则 在点 的某个去心邻域内有界，若 存在，则存在 当 时，函数 有界。,推论,3.不等式性质,定理(保序性),定理(保号性),推论,4.（夹逼定理）,设在点 的某一去心邻域内，有 且，则有,注：可以用来判别极限的存在性和求解极限。,例11、证明当 时，,解：设 n为不超过 x 的最大整数,5.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),设 在点 的某个去心邻域内有定义,则
3、 的充要条件是,其中 为 的该去心邻域中的任何数列，且,注：该结论可以用来验证验证函数极限的不存在性。,定理6:,例12,证,二者不相等,四、小结,函数极限的统一定义,(见下表),作业,P39 2.(2)(4)(6)4.5.6.7.8,思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,一、填空题:,练 习 题,练习题答案,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,
