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1、数系的扩充与复数的概念,Z,Q,R,自然数集,负 整 数,?,整 数 集,有理数集,实 数 集,无 理 数,分 数,数 系 的 扩 充,创设情景，探究问题,不够减,不能整除,开方开不尽,我们知道一元二次方程 x2+1=0在实数集范围内无解,引入一个新数：,合情推理，类比扩充,为了解决负数不能开平方的问题，,Leonhard Euler 公元1707-1783年,瑞士 欧拉,知 识 探 究,德国 高斯,1801年 系统地使用i这个符号,使i通行于世,Carl Friedrich Gauss 公元17771855年,知 识 探 究,现在我们就引入这样一个数 i，把 i 叫做虚数单位，并且规定：（1
2、）i21；（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。,引入新数，完善数系,复数Z=a+bi(aR，bR)把实数a，b叫做 复数的实部和虚部。,1、定义:形如a+bi（aR，bR）的数叫复数,其中i叫虚数单位。,全体复数所组成的集合叫复数集，记作：C。,注意:复数通常用字母z表示，即复数a+bi（aR，bR)可记作:z=a+bi（aR，bR），把这一表示形式叫做复数的代数形式。,复数有关概念,练习：指出下面复数的实部与虚部 2+i，-3+0.5i，-2i+，2 0，-i，,其中 称为虚数单位。,观察复数的代数形式,当a=
3、_且b=_时，则z=0,当b=_时，则z为实数,当b=_时，则z为虚数,当a=_且b_ 时，则z为纯虚数,0,0,0,0,0,0,2、复数a+bi,3.复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？,思考？,复数集,虚数集,实数集,纯虚数集,复数的分类,i为-1的一个、-1的另一个;,一般地，a(a0)的平方根为、,平方根,平方根为-i,-a(a0)的平方根为,复数z=a+bi,(a、bR),(b=0),分数,不循环小数,虚数,(b0),特别的当 a=0 时,纯虚数,a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 条件.,必要但不充分,二新课复数的概念,1、说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些
4、是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。,5+8,0,2、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则z=a 一定不是虚数,即时训练，巩固新知,正确,不正确,不正确,例1.实数 m 取什么数值时，复数z=m+1+(m1)i是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？,解：复数z=m+1+(m1)i 中，因为mR，所以m+1，m1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，,（1）m=1时，z是实数；（2）m1时，z是虚数；,（3）当 时，即m=1时，z是纯虚数；,典例讲解，变式拓展,典例讲解，变式拓展,变式1:复数 当实数m=时z为
5、纯虚数；当实数m=时z为零。,-2,1,复数相等的定义,根据两个复数相等的定义，设a,b,c,dR，两个复数a+bi和 c+di 相等规定为a+bi=c+di,如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等.,两个虚数不能比较大小，只能由定义判断它们相 等或不相等。,例2 已知，其中 求x与y?,1、若x，y为实数，且 求x，y,变式：,解题思考：,复数相等的问题,转化,求方程组的解的问题,一种重要的数学思想：转化思想,x=5/2,y=4,x=-3,y=4,x,o,1,实数可以用数轴上的点来表示。,一一对应,规定了正方向，,直线,数轴,原点，,单位长度,实数,数轴上的点,(形),(数
6、),(几何模型),问10：如何建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的联系？,复数的几何意义,复数z=a+bi,有序实数对(a,b),直角坐标系中的点Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面,x轴-实轴,y轴-虚轴,（数）,（形）,-复数平面(简称复平面),一一对应,z=a+bi,特别注意：虚轴不包括原点。,复数的一个几何意义,复数的几何意义,起点为O,还用点坐标表示过什么？,问题,平面向量,复数z=a+bi,直角坐标系中的点Z(a,b),一一对应,平面向量,一一对应,一一对应,z=a+bi,建构,例3 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)
7、i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。,表示复数的点所在象限的问题,复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题,转化,(几何问题),(代数问题),一种重要的数学思想：数形结合思想,例3 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。,变式：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。,不等式解集为空集,所以复数所对应的点不可能位于第四象限.,二新课例题剖析,把绝对值的概念推广到复数,复数的模的几何意义？,问题,读作：复数z的模，或复数a+bi的模,记为：|z|,|a+bi|,实数绝对值的几何意义:,能否把绝对值
8、概念推广到复数范围呢？,X,O,A,a,|a|=|OA|,实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。,x,O,z=a+bi,y,|z|=|OZ|,复数的绝对值,复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。,(复数的模),的几何意义:,Z(a,b),例4.设 z C,满足下列条件的点 z 的集合是什么图形?(1)|z|=4;(2)2|z|4.,二新课例题剖析,例5.若复数z对应点集为圆:,试求z的最大值与最小值.,o1,2,1,1,3,1,二新课例题剖析,课堂小结,2.复数的几何意义,3.数学思想：,转化思想、,数形结合思想、,类比思想,练习1、复数-5+2i的实部为_,虚部为
9、_.2、实数m取什么值时，复数z=m+1-mi 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？3、已知实数x与纯虚数y满足2x-1+2i=y,求x,y.4、已知两个复数x2-1+(y+1)i2x+3+(y2-1)i试求实数x,y的取值范围.,关于无理数的发现 古希腊的毕达哥拉斯学派认为,世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.,数系的扩充,创设情景，探究问题,因计数的需要,因不够减的需要，引入负数,因测量、分配中的等分问题引入分数,(分数集有理数集循环小数集),实数集小数集,因度量的需要,
